Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Т

Точные грани и предельные точки

Связь точной верхней (нижней) грани с предельными точками последовательности.
Теорема

Пусть нам дана последовательность , у которой есть некоторая предельная точка . Если — верхняя граница последовательности , то

Доказательство

Докажем, что

Докажем от противного. Пусть — не точная верхняя грань последовательности . Значит существует более маленькая точная верхняя грань :

Обозначим за расстояние между и :

Так как — предельная точка , то существует некоторая подпоследовательность , у которой есть предел, равный :

Распишем по определению, что это означает:

Раз выражение верно для любого положительного , а значит выполняется и для :

Итак, для выполняется неравенство

Раскроем это неравенство с модулем по пункту 1 прото-задачи П-ссылка:

Рассмотрим подробнее второе неравенство:

Прибавим к обеим частям :

Итак, мы предположили, что точная верхняя грань. Но получается, что все элементы при будут строго больше этой якобы точной верхней грани . Получили противоречие.

Это означает, что нет других верхних граней, которые меньше , а значит — точная верхняя грань последовательности .


Докажем, что

Пусть это не так и существует какая-то предельная точка , а значит

По определению наибольшего частичного предела это означает, что существует некоторая подпоследовательность , которая имеет предел

Раз выражение из определения выполняется для любого положительного числа, то оно будет выполняться и для числа . Итак, для существует такое , что все члены подпоследовательности после этого будут удовлетворять неравенству

Разложим неравенство с модулем по пункту 1 прото-задачи П-ссылка:

Рассмотрим второе неравенство подробнее:

Прибавляем к обеим частям :

Итак, начиная с все члены подпоследовательности , а значит и некоторые члены исходной последовательности оказываются строго большими числа . Но по условию известно, что — верхняя граница последовательности . Получили противоречие, а значит не существует другой предельной точки .

Итак,

Теорема

Пусть нам дана последовательность , у которой есть некоторая предельная точка . Если — нижняя граница последовательности , то

Доказательство

Доказательство проводится аналогичным образом.

Зависимые задачи