Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Т

Предел отношения логарифмической и степенной последовательностей

Предел отношения логарифмической и степенной последовательностей равен 0.
Теорема

Лемма 1

Исходя из определения функций потолка и пола числа:

Получается, что в общем случае:

А отсюда сразу получаем, что

Лемма 2

Из прото-задачи П-ссылка мы знаем, что

так как это частный случай упомянутых задач при .

Распишем по определению:

Раз выполняется для любого положительного , то выполняется и для :

Рассмотрим последнее неравенство:

От модуля можно избавиться, так как выражение под ним больше нуля:

Итак:

Из прото-задачи П-ссылка известно, что

Значит и для :

По прото-задаче П-ссылка получаем, что раз — бесконечно малая, то — бесконечно большая.

Раз выполняется для любой положительной границы , то выполняется и для числа :

Рассмотрим неравенство в конце:

От модуля можно избавиться, так как выражение под ним больше нуля:

По определению округления сверху («потолка») числа:

Итак

Заметим, что любое — натуральное число, причем, из второй записи получается, что оно больше . Но раз любое (при ) больше то все такие числа подходят для первой записи, то есть

Теперь воспользуемся доказанной выше леммой 1:

По определению округления снизу («пола») и «потолка» числа

Поэтому

Лемма 3

Пусть . Тогда, по лемме 2

Возводим обе части неравенства в коцне в степень :

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию . Так как , то знак неравенства не изменится:

Доказательство при

Раз , то (так как ), поэтому для всех выполняется неравенство

Доказательство при

Раз , то

Пусть

По лемме 3 получаем, что

Поделим обе части неравенства на положительное число :

По определению потолка числа:

Откуда

Запишем итоговое цепное неравенство:

«Последовательность» из слева стремится к . Последовательность справа тоже стремится к , как частный случай (см. прото-задачу П-ссылка). Значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к :

Доказательство при

Воспользуемся одним из свойств логарифмов:

Раз, , то , поэтому

Зависимые задачи