Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Т

Ограниченность в арифметических операциях

Сохранение ограниченности при сумме, разности и произведении последовательностей.
Теорема

Пусть даны две ограниченные последовательности и .

Тогда ограниченными являются следующие последовательности:

Доказательство

Доказательство для

По определению ограниченной последовательности, для и существуют такие положительные и , что

Сложим оба этих неравенства:

По 6 свойству модулей (см. прото-задачу П-ссылка):

Последнее по определению означает, что последовательность ограничена.

Доказательство для

По определению ограниченной последовательности, для и существуют такие положительные и , что

Уножим эти неравенства друг на друга (умножить можно, так как они состоят из положительных чисел):

По 4 свойству модулей (см. прото-задачу П-ссылка):

Последнее по определению означает, что последовательность ограничена.

Насчет

Важно заметить, что из ограниченности и не следует ограниченность . Это легко показать на примере.

Пусть и . Первая очевидно ограничена, а ограничена сверху , а снизу .

Найдем их частное

Эта последовательность натуральных чисел. Она не ограничена сверху, так как для любого положительного числа всегда найдется большее его натуральное число.

Итак, и ограничены, но нет.