Ограниченность в арифметических операциях

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

Заглянуть

Посмотреть все темы!

ВышматПрото-задачиПоследовательности

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Ограниченность в арифметических операциях

Сохранение ограниченности при сумме, разности и произведении последовательностей.

Теорема

Пусть даны две ограниченные последовательности $x_{n}$ и $y_{n}$ .

Тогда ограниченными являются следующие последовательности:

$x_{n} + y_{n} x_{n} - y_{n} x_{n} \cdot y_{n}$

Доказательство

Доказательство для $x_{n} \pm y_{n}$

По определению ограниченной последовательности, для $x_{n}$ и $y_{n}$ существуют такие положительные $M_{x}$ и $M_{y}$ , что

$∣ x_{n} ∣ \leq M_{x} ∣ y_{n} ∣ \leq M_{y}$

Сложим оба этих неравенства:

$∣ x_{n} ∣ + ∣ y_{n} ∣ \leq M_{x} + M_{y}$

По 6 свойству модулей (см. прото-задачу П-ссылка):

$∣ x_{n} \pm y_{n} ∣ \leq ∣ x_{n} ∣ + ∣ y_{n} ∣ \leq M_{x} + M_{y}$

$∣ x_{n} \pm y_{n} ∣ \leq M_{x} + M_{y}$

Последнее по определению означает, что последовательность $x_{n} \pm y_{n}$ ограничена.

Доказательство для $x_{n} \cdot y_{n}$

$∣ x_{n} ∣ \leq M_{x} ∣ y_{n} ∣ \leq M_{y}$

Уножим эти неравенства друг на друга (умножить можно, так как они состоят из положительных чисел):

$∣ x_{n} ∣∣ y_{n} ∣ \leq M_{x} \cdot M_{y}$

По 4 свойству модулей (см. прото-задачу П-ссылка):

$∣ x_{n} \cdot y_{n} ∣ \leq ∣ x_{n} ∣∣ y_{n} ∣ \leq M_{x} \cdot M_{y}$

$∣ x_{n} \cdot y_{n} ∣ \leq M_{x} \cdot M_{y}$

Последнее по определению означает, что последовательность $x_{n} \cdot y_{n}$ ограничена.

Насчет $\frac{x _{n}}{y _{n}}$

Важно заметить, что из ограниченности $x_{n}$ и $y_{n}$ не следует ограниченность $\frac{x _{n}}{y _{n}}$ . Это легко показать на примере.

Пусть $x_{n} = 1$ и $y_{n} = \frac{1}{n}$ . Первая очевидно ограничена, а $y_{n}$ ограничена сверху $1$ , а снизу $0$ .

Найдем их частное

$\frac{x _{n}}{y _{n}} = \frac{1}{\frac{1}{n}} = n$

$\frac{x _{n}}{y _{n}} = n$

Эта последовательность натуральных чисел. Она не ограничена сверху, так как для любого положительного числа $E$ всегда найдется большее его натуральное число.

Итак, $x_{n}$ и $y_{n}$ ограничены, но $\frac{x _{n}}{y _{n}}$ нет.

Связи в справке

Зависит от

Свойства модуля

Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.

Доказательство

Доказательство для xn​±yn​

Доказательство для xn​⋅yn​

Насчет yn​xn​​

Доказательство для $x_{n} \pm y_{n}$

Доказательство для $x_{n} \cdot y_{n}$

Насчет $\frac{x _{n}}{y _{n}}$