Демидович
П.1
Общее
Свойства модуля




Следствие:



Эта прото-задача является отрывком теории, которая понятно и подробно расписана в статье:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Доказательство 1

Если , то, по определению модуля, , а значит получаем верное неравенство:

Если , неравенство

очевидно выполняется, так как слева находится положительное число (по определению модуля), а справа отрицательное.

Доказательство 2

Если , то и получаем очевидное равенство:

Если , то и получаем

Доказательство 3

По уже доказанному свойству 2 имеем, что

Поэтому

Доказательство 4

Рассмотрим все 4 возможных варианта:

  1. и
  2. и
  3. и
  4. и

В варианте 1:

В варианте 2:

То же самое и в варианте 3.

В варианте 4:

Итак, равенство выполняется во всех четырех возможных случаях.

Доказательство следствия

Распишем по определению, чему равно и для каждых двух множителей применяем свойство 4:

Доказательство 5

Вынесем внутри :

По уже доказанному свойству 4 имеем, что

Доказательство 6

Сначала докажем, что

Если — отрицательное число, то неравенство выполняется, так как справа по определению модуля находится неотрицательное число.

Если — неотрицательное число, то возводим обе части неравенства в квадрат:

Если , то , поэтому получаем верные неравенства:

Если , то , поэтому получаем

Правое неравенство выполняется, так как слева строго отрицательное число, а справа строго положительное.

Итак, мы доказали, что

Теперь докажем, что

Возводим обе части неравенства в квадрат:

Домножим это неравенство на получаем уже доказанное немного выше неравенство:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!