Равенство а)

Распишем по определению бесконечно малую $\alpha (x)$ в точке $a$:

$$\forall \epsilon >0\exists \mathring{U}(a):\left(\forall x\in \mathring{U}(a)\Rightarrow |\alpha (x)|<\epsilon \right)$$

Распишем по определению ограниченность $f(x)$ в некоторой проколотой окрестности $\mathring{O}(a)$ точки $a$:

$$\exists C>0\forall x\in \mathring{O}(a):|f(x)|\le C$$

Пусть теперь нам дали произвольное число $\epsilon >0$. Тогда для числа $\frac{\epsilon }{C}$ через определение бесконечно малой всегда найдется окрестность $\mathring{U}(a)$, такая, что для любого $x$ в ней выполняется:

$$|\alpha (x)|<\frac{\epsilon }{C}$$

Введем в рассмотрение окрестность $\mathring{Y}(a)$:

$$\mathring{Y}(a)=\mathring{U}(a)\cap \mathring{O}(a)$$

Тогда для любого $x$ в $\mathring{Y}(a)$ будет выполняться:

$$\forall x\in \mathring{Y}(a)\Rightarrow \{\begin{array}{l}|\alpha (x)|<\frac{\epsilon }{C}\\ |f(x)|\le C\end{array}$$

Умножим эти два неравенства друг на друга и воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

$$\begin{gathered} |\alpha (x)||f(x)|<\frac{\epsilon }{C}C \\ |\alpha (x)f(x)|<\epsilon \end{gathered}$$

Итак, объединяя все вместе, выполняется следующее:

$$\forall \epsilon >0\exists \mathring{Y}(a)=\mathring{U}(a)\cap \mathring{O}(a):\left(\forall x\in \mathring{Y}(a)\Rightarrow |\alpha (x)f(x)|<\epsilon \right)$$

Это по определению означает, что

$$\underset{x\to a}{\lim }\alpha (x)f(x)=0$$

$■$

Равенство б)

Если $f(x)$ всегда равна $0$, то и функция $A(x)f(x)$ всегда равна 0. Предел константной функции при любом стремлении равен этой самой константе, поэтому $A(x)f(x)\to 0$.

Если в любой окрестности точки $a$ находится $x$, при котором $f(x)=0$, то функция $A(x)f(x)$ не имеет предела, потому что мы можем две последовательности. Одна состоит только из как раз тех $x$-ов, при которых $f(x)=0$. Предел значений функции такой последовательности $x$-ов будет равен $0$. Вторая последовательность будет состоять из любых $x$, кроме тех, которые есть в первой последовательности. Предел значений функции такой последовательности $x$-ов будет стремится к $\infty$.

Получаем, что две последовательности $x$-ов стремятся к $a$, а соответствующие значения функций стремятся к двум разным пределам: $0$ и $\infty$. Это означает, что не выполняется определение предела функции в точке по Гейне, а значит никакого предела в этой точке функция $A(x)f(x)$ не имеет (см. прото-задачу П.33).

Наконец, разберем вариант, при котором существует проколотая окрестность $\mathring{O}(a)$ функции $f(x)$, в которай она и не равна $0$.

Пусть нам дали какую-то границу $E>0$. Тогда для $E$ через определение бесконечно большой $A(x)$ всегда найдется окрестность $\mathring{U}(a)$, которая вместе с ненулевой окрестностью $\mathring{O}(a)$ образует пересечение $\mathring{Y}(a)$:

$$\mathring{Y}(a)=\mathring{U}(a)\cap \mathring{O}(a)$$

Для любого $x$ из этой окрестности будет выполняться неравенство:

$$|A(x)||f(x)|>|A(x)|>E$$

Левая часть неравенства выполняется из-за окрестности $\mathring{O}(a)$, для которой верно $|f(x)|>0$. Правая часть неравенства выполняется из-за окрестности $\mathring{U}(a)$.

Пользуясь свойствами модуля (см. прото-задачу П.1), получим что

$$|A(x)f(x)|=|A(x)||f(x)|>|A(x)|>E$$

$$|A(x)f(x)|>E$$

Если строго, то выполняется:

$$\forall E>0\exists \mathring{Y}(a)=\mathring{U}(a)\cap \mathring{O}(a):\left(\forall x\in \mathring{Y}(a)\Rightarrow |A(x)f(x)|>E\right)$$

По определению это означает, что

$$\underset{x\to a}{\lim }A(x)f(x)=\infty$$

$■$

Равенство в)

Ход доказательства почти такой же, как и для равенства а).

Пусть нам дали произвольную границу $E>0$. Тогда для числа $E+C$ через определение бесконечно большой $A(x)$ всегда найдется окрестность $\mathring{U}(a)$, а через ограниченность $f(x)$ окрестность $\mathring{O}(a)$, такие, что

$$\forall x\in \mathring{Y}(a)=\mathring{U}(a)\cap \mathring{O}(a)\Rightarrow \{\begin{array}{l}|A(x)|>E+C\\ C\ge |f(x)|\end{array}$$

Сложим эти два неравенства друг с другом и воспользуемся неравенством треугольника для модулей (см. прото-задачу П.1):

$$\begin{gathered} |A(x)|+C>E+C+|f(x)| \\ |A(x)|-|f(x)|>E \\ |A(x)\pm f(x)|\ge |A(x)|-|f(x)|>E \end{gathered}$$

$$|A(x)\pm f(x)|>E$$

Итак, объединяя все вместе, выполняется следующее:

$$\forall E>0\exists \mathring{Y}(a):\left(\forall x\in \mathring{Y}(a)\Rightarrow |A(x)\pm f(x)|>E\right)$$

По определению это означает, что

$$\underset{x\to a}{\lim }A(x)\pm f(x)=\infty$$

$■$