Демидович
П.25
Предел функции
Операции с бесконечно малыми и большими

TODO: Переименовать в 'bm-bb-arifm' и добавить таблицу операций

Обозначим за произвольную б.б., за произвольную б.м. при стремлении к конечной или бесконечной . Пусть — функция, ограниченная в некоторой проколотой окрестности точки . Тогда выполняются "предельные" равенства:

Равенство а)

Если — бесконечно малая функция, то выполняется равенство:

Равенство б)

Пусть — бесконечно большая функция.

Если для всех равна , то

Если в любой проколотой окрестности , имеет хотя бы одну точку , в которой , то предела функции при не существует.

Если имеет проколотую окрестность , в каждой точке которой она не равна , то

Для выполнения равенства может и не быть ограниченной!

Если имеет знакопостоянную окрестность, которая совпадает по знаку со знаком бесконечности , то и бесконечность справа от равенства будет иметь такой же знак.

Равенство в)

Если — бесконечно большая функция, то выполняется равенство:

Знак бесконечности справа будет таким же, какой знак имеет бесконечность .

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Равенство а)

Распишем по определению бесконечно малую в точке :

Распишем по определению ограниченность в некоторой проколотой окрестности точки :

Пусть теперь нам дали произвольное число . Тогда для числа через определение бесконечно малой всегда найдется окрестность , такая, что для любого в ней выполняется:

Введем в рассмотрение окрестность :

Тогда для любого в будет выполняться:

Умножим эти два неравенства друг на друга и воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

Итак, объединяя все вместе, выполняется следующее:

Это по определению означает, что

Равенство б)

Если всегда равна , то и функция всегда равна 0. Предел константной функции при любом стремлении равен этой самой константе, поэтому .

Если в любой окрестности точки находится , при котором , то функция не имеет предела, потому что мы можем две последовательности. Одна состоит только из как раз тех -ов, при которых . Предел значений функции такой последовательности -ов будет равен . Вторая последовательность будет состоять из любых , кроме тех, которые есть в первой последовательности. Предел значений функции такой последовательности -ов будет стремится к .

Получаем, что две последовательности -ов стремятся к , а соответствующие значения функций стремятся к двум разным пределам: и . Это означает, что не выполняется определение предела функции в точке по Гейне, а значит никакого предела в этой точке функция не имеет (см. прото-задачу П.33).

Наконец, разберем вариант, при котором существует проколотая окрестность функции , в которай она и не равна .

Пусть нам дали какую-то границу . Тогда для через определение бесконечно большой всегда найдется окрестность , которая вместе с ненулевой окрестностью образует пересечение :

Для любого из этой окрестности будет выполняться неравенство:

Левая часть неравенства выполняется из-за окрестности , для которой верно . Правая часть неравенства выполняется из-за окрестности .

Пользуясь свойствами модуля (см. прото-задачу П.1), получим что

Если строго, то выполняется:

По определению это означает, что

Равенство в)

Ход доказательства почти такой же, как и для равенства а).

Пусть нам дали произвольную границу . Тогда для числа через определение бесконечно большой всегда найдется окрестность , а через ограниченность окрестность , такие, что

Сложим эти два неравенства друг с другом и воспользуемся неравенством треугольника для модулей (см. прото-задачу П.1):

Итак, объединяя все вместе, выполняется следующее:

По определению это означает, что

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Предел функции в точке
Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне. Доказательство эквивалентности этих определений.