Доказательство б.м. $\Rightarrow$ б.б.

По условию у нас есть какая-то окрестность точки $a$, в которой $f(x)$ не равна $0$. Исключим саму эту точку $a$ из этой окрестности и обозначим полученную окрестность за $\mathring{O}(a)$.

Также по условию имеем, что

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$$

Распишем по определению:

$$\forall \epsilon >0\exists \mathring{U}(a):\left(\forall x\in \mathring{U}(a)\Rightarrow |f(x)|<\epsilon \right)$$

Пусть нам дано какое-то число $E>0$. Тогда, для числа $\frac{1}{E}$, по выполняющемуся определению выше, найдется окрестность $\mathring{U}(a)$, такая, что

$$\forall x\in \mathring{U}(a)\Rightarrow |f(x)|<\frac{1}{E}$$

Введем в рассмотрение новую окрестность:

$$\mathring{Y}(a)=\mathring{U}(a)\cap \mathring{O}(a)$$

Для любого $x$ в $\mathring{Y}(a)$ выполняется два свойства:

$$\forall x\in \mathring{Y}(a)\Rightarrow \{\begin{array}{l}|f(x)|<\frac{1}{E}\\ f(x)\ne 0\end{array}$$

Раз в $\mathring{Y}(a)$ функция не равна $0$, мы можем преобразовать первое неравенство из фигурной скобки выше:

$$\begin{gathered} |f(x)|<\frac{1}{E} \\ \frac{1}{|f(x)|}>E \\ \left|\frac{1}{f(x)}\right|>E \end{gathered}$$

Объединяя все шаги вместе получаем, что какую границу $E>0$ нам не дадут, мы, через данный по условию предел и ненулевую окрестность, всегда найдем окрестность $\mathring{Y}(a)$, такую, что для любого $x$ из этой окрестности значения функции $\frac{1}{f(x)}$ по модулю будут превышать $E$:

$$\forall E>0\exists \mathring{Y}(a)=\mathring{U}(a)\cap \mathring{O}(a):\left(\forall x\in \mathring{Y}\Rightarrow \left|\frac{1}{f(x)}\right|>E\right)$$

Это по определению означает, что

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{f(x)}=\infty$$

$■$

Если же существует проколотая окрестность $\mathring{+}(a)$ точки $a$, в которой $f(x)$ всегда положительная, то в доказательстве выше можно брать $\mathring{Y}(a)$ следующим образом:

$$\mathring{Y}(a)=\mathring{U}(a)\cap \mathring{O}(a)\cap \mathring{+}(a)$$

Тогда от знака модуля в импликации определения предела можно будет избавиться, что по определению будет означать стремление к $+\infty$ (или к $-\infty$).

Доказательство б.б. $\Rightarrow$ б.м.

По условию выполняется

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\infty$$

По определению это означает, что

$$\forall E>0\exists \mathring{U}(a):\left(\forall x\in \mathring{U}(a)\Rightarrow \left|f(x)\right|>E\right)$$

Пусть нам дано какое-то число $\epsilon >0$. Тогда, для числа $\frac{1}{\epsilon }$, по выполняющемуся определению выше, найдется окрестность $\mathring{U}(a)$, такая, что

$$\forall x\in \mathring{U}(a)\Rightarrow \left|f(x)\right|>\frac{1}{\epsilon }$$

Неравенство в конце можно преобразовать:

$$\begin{gathered} |f(x)|>\frac{1}{\epsilon } \\ \frac{1}{|f(x)|}=\left|\frac{1}{f(x)}\right|<\epsilon \end{gathered}$$

$$\left|\frac{1}{f(x)}\right|<\epsilon$$

Деления на ноль у нас не возникет, ведь изначально $|f(x)|>\frac{1}{\epsilon }>0$.

Объединяя все шаги вместе получаем, что какое число $\epsilon >0$ нам не дадут, мы, через данный по условию предел, всегда получим окрестность $\mathring{U}(a)$, такую, что для любого $x$ из этой окрестности значения функции $\frac{1}{f(x)}$ по модулю будут меньше $\epsilon$:

$$\forall \epsilon >0\exists \mathring{U}(a):\left(\forall x\in \mathring{U}(a)\Rightarrow \left|\frac{1}{f(x)}\right|<\epsilon \right)$$

Это по определению означает, что

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{f(x)}=0$$

$■$