Демидович
П.26
Предел функции
Связь бесконечно малых и бесконечно больших

б.м. б.б.

Пусть существует некоторая окрестность точки (конечной или бесконечной), в которой функция не равна . Тогда выполняется:

Причем если существует окрестность точки , в каждой точке которой функция положительна (отрицательна), то вместо можно говорить о ().

Замечание: если речь идет об одностороннем пределе, то ненулевая окрестность тоже должна быть односторонней "с той же стороны".

б.б. б.м.

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Доказательство б.м. б.б.

По условию у нас есть какая-то окрестность точки , в которой не равна . Исключим саму эту точку из этой окрестности и обозначим полученную окрестность за .

Также по условию имеем, что

Распишем по определению:

Пусть нам дано какое-то число . Тогда, для числа , по выполняющемуся определению выше, найдется окрестность , такая, что

Введем в рассмотрение новую окрестность:

Для любого в выполняется два свойства:

Раз в функция не равна , мы можем преобразовать первое неравенство из фигурной скобки выше:

Объединяя все шаги вместе получаем, что какую границу нам не дадут, мы, через данный по условию предел и ненулевую окрестность, всегда найдем окрестность , такую, что для любого из этой окрестности значения функции по модулю будут превышать :

Это по определению означает, что

Если же существует проколотая окрестность точки , в которой всегда положительная, то в доказательстве выше можно брать следующим образом:

Тогда от знака модуля в импликации определения предела можно будет избавиться, что по определению будет означать стремление к (или к ).

Доказательство б.б. б.м.

По условию выполняется

По определению это означает, что

Пусть нам дано какое-то число . Тогда, для числа , по выполняющемуся определению выше, найдется окрестность , такая, что

Неравенство в конце можно преобразовать:

Деления на ноль у нас не возникет, ведь изначально .

Объединяя все шаги вместе получаем, что какое число нам не дадут, мы, через данный по условию предел, всегда получим окрестность , такую, что для любого из этой окрестности значения функции по модулю будут меньше :

Это по определению означает, что

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!