Предел сложной функции | Демидович. Решения

П.27

Предел сложной функции

Если функция $f (x)$ имеет в точке $a$ предел $b$ и не равна $b$ в некоторой проколотой окрестности точки $a$ , а функция $g (y)$ имеет в точке $b$ предел $c$ , то сложная функция $g (f (x))$ имеет предел в точке $a$ и он равен $c$ .

$\exists x \to a lim f (x) = b \exists \overset{˚}{U} (a) : b \neq \in f (\overset{˚}{U} (a)) \exists y \to b lim g (y) = c ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ \Rightarrow \exists x \to a lim g (f (x)) = c$

Замечание: теорема работает для конечных и бесконечных пределов.

Эта теорема позволяет выполнять замену переменных при вычислении пределов сложных функций по формуле:

$x \to a lim g (f (x)) = y \to b lim g (y)$

Использование

417 426 427 435 436 437 438 439 440 441 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 471 473 474 476 477 478 479 480 482 483 484 485 488 489 490 491 492 П.29 П.34 П.35

Решение

Рассмотрим произвольную последовательность ${x_{n}} \subset \overset{˚}{U} (a)$ , которая стремится к $a$ . Согласно определению предела функции по Гейне (П.33), соответствующая ей последовательность ${f (x_{n})} \to b$ , причем по условию ни один ее член ${f (x_{n})}$ не равен $b$ .

Обозначим ${f (x_{n})}$ за ${y_{n}}$ . Так как ни один из ее членов не равен $b$ , мы можем еще раз воспользоваться определением предела функции по Гейне из которого следует, что последовательность ${g (y_{n})} \to c$ .

Резюмируя. Мы взяли произвольную последовательность ${x_{n}} \subset \overset{˚}{U} (a)$ , которая стремится к $a$ и показали, что соответствующая ей последовательность значений функции $g (f (x))$ стремится к $c$ . Это по определению предела функции по Гейне означает, что

$\exists x \to a lim g (f (x)) = c$

$■$

Прото-задачи

Предел функции в точке

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне. Доказательство эквивалентности этих определений.