Демидович
П.27
Предел функции
Предел сложной функции

Если функция имеет в точке предел и не равна в некоторой проколотой окрестности точки , а функция имеет в точке предел , то сложная функция имеет предел в точке и он равен .

Замечание: теорема работает для конечных и бесконечных пределов.


Эта теорема позволяет выполнять замену переменных при вычислении пределов сложных функций по формуле:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Рассмотрим произвольную последовательность , которая стремится к . Согласно определению предела функции по Гейне (П.33), соответствующая ей последовательность , причем по условию ни один ее член не равен .

Обозначим за . Так как ни один из ее членов не равен , мы можем еще раз воспользоваться определением предела функции по Гейне из которого следует, что последовательность .

Резюмируя. Мы взяли произвольную последовательность , которая стремится к и показали, что соответствующая ей последовательность значений функции стремится к . Это по определению предела функции по Гейне означает, что

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Предел функции в точке
Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне. Доказательство эквивалентности этих определений.