Демидович
П.34
Непрерывность функции
Арифметические свойства непрерывности

Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда их сумма, разность или произведение есть непрерывные в функции:

Если функция в точке не равна , то и отношение к есть непрерывная в функция:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Воспользуемся определением непрерывности функции в точке (П.38), а также арифметическими свойствами пределов:

Так как функция непрерывна в и , то существует такая проколотая окрестность точки , что для любого из этой окрестности значение будет одного знака с (П.30), а так как , то и для любого из значения тоже не равны .

Это означает, что у нас есть окрестность точки , в каждой точке которой (в том числе и в ) определена функция , причем из арифметических свойств пределов получаем, что

Теперь мы можем доказать непрерывность отношения к :

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства функций с конечным пределом
Наиболее полезные свойства функций, которые имеют конечный предел при произвольном стремлении аргумента.
Непрерывность функции в точке
Определение непрерывности функции в точке через прямой предел, а также через предел приращений переменной.