Демидович
П.35
Непрерывность функции
Непрерывность сложной показательной функции

Для функций вида

справедливо равенство:


Если функции и непрерывны в точке , то и функция непрерывна в точке .

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Равенство

Пусть нам дана функция вида . Пользуясь свойствами логарифмов, запишем ее в экспоненциальном виде, то есть представим в виде показателя степени с основанием , а затем вынесем из-под натурального логарфима:

Непрерывность

Пусть функции и непрерывны в .

По теореме о непрерывности сложной функции, сложная функция , состоящая из непрерывного натурального логарифма и непрерывной тоже непрерывна в .

По арифметическим свойствам непрерывности произведение двух непрерывных функций и есть функция, непрерывная в .

Наконец, вновь по теореме о непрерывности сложной функции, сложная функция , состоящая из непрерывной показательной функции и непрерывной тоже непрерывна .

Итак, мы доказали, что функция непрерывна в . Но по доказанному выше равенству эта функция есть не что иное, как . Значит, функция непрерывна в .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!