Демидович
П.34
Непрерывность функции
Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Функцию называют непрерывной в точке , если она имеет конечный предел в этой точке, который совпадает со значением самой функции в этой точке:

Для проверки на непрерывность можно так же использовать предел приращений переменной:

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Докажем, что для проверки на непрерывность можно использовать предел приращений. Для этого в исходном пределе воспользуемся теоремой о пределе сложной функции (П.27) и произведем переменных:

Обратим внимание, что функция при стремлении к не равна нигде (кроме точки самой точки , которую мы не рассматриваем). Это необходимое условие для применения теоремы о пределе сложной функции.

Итак, мы показали равенство двух пределов:

Это означает, что нет разницы, какой из них использовать при доказательстве непрерывности функции в точке.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Предел сложной функции
Удобная формула для вычисления пределов с помощью замены переменной.