Демидович
П.35
Непрерывность функции
Непрерывность тригонометрических функций

Тригонометрические функции (, , и ) непрерывны на всей своей области определения.

Обратные тригонометрические функции (, , и ) тоже непрерывны на всей своей области определения.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Доказывать непрерывность будем с помощью предела приращений переменной, приведенного в прото-задаче П.34.

Кроме того, в ходе рассуждений мы воспользуемся двумя пределами:

Доказательство

Из прото-задачи П.6 нам известно, что для любого выполняется неравенство:

Разложим это неравенство в цепное по прото-задаче П.5:

Функции и стремятся к при , поэтому и "зажатая" между ними функция по теореме о двух милиционерах тоже стремится к :

При острых углах консинус является катетом прямоугольникого треугольника, а значит его значение при этих углах положительное.

Тогда, пользуясь основным тригонометрическим тождеством:

Найдем теперь значение предела функции косинуса при , пользуясь пределом степенной функции П.29, а также теоремой о пределе сложной функции П.27:

Непрерывность синуса и косинуса

Возьмем произвольную точку из области определения синуса (и косинуса):

Докажем, что выполняется равенство:

Воспользуемся формулой синуса суммы углов, а также арифметическими свойствами пределов:

Теперь используем два доказанных в начале решения равенства:

Мы доказали, что

Это по определению означает, что функция синуса непрерывна на всей своей области определения.

Аналогичные действия проводим и для косинуса. В этот раз пользуемся формулой косинуса суммы:

Мы доказали, что

Это по определению означает, что функция косинуса непрерывна на всей своей области определения.

Непрерывность тангенса и котангенса

Возьмем произвольную точку из области определения тангнеса или котангенса:

Тогда, пользуясь определениями функций тангенса и котангенса, доказанной непрерывностью синуса и косинуса, а также арифметическими свойствами пределов, получаем, что:

Это по опрделению означает, что функции тангенса и котангенса непрерывны на всей своей области определения.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.
Предел сложной функции
Удобная формула для вычисления пределов с помощью замены переменной.
Предел степенной функции
Доказательство значений предела степенной функции при различных стремлениях аргумента.
Непрерывность функции в точке
Определение непрерывности функции в точке через прямой предел, а также через предел приращений переменной.