Демидович
П.28
Предел функции
Элементарные пределы

Константа

Линейная функция

Следствие:

Многочлен

Если — целое число, то выполняются равенства:

Следствие:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Константа

Пусть нам дали какое-то . Для этого мы берем совершенно любую окрестность точки . Тогда для каждого из этой окрестности расстояние между и должно быть меньше . Но расстояние между и равно , вне зависимости от , поэтому оно точно меньше любого положительного . По определению это означает, что

Линейная функция

Если — конечное число, то для любого наперед заданного мы можем взять . Тогда будет выполняться импликация:

А это по определению означает, что

Доказательство для случая бесконечного аналогичное, только нужно брать .

Докажем теперь следствие, пользуясь уже доказанными элементарными пределами и арифметическими свойствами предела функции:

Второе равенство следствия докажем с помощью операций с б.м. и б.б. (см. прото-задачу П.25), представляя константу в виде ненулевой функции, а константу в виде ограниченной функции:

Многочлен

Начем с конечного :

Если , то , поэтому

Пусть теперь — натуральное число, тогда по арифметическим свойствам предела и уже доказанному выше пределу линейной функции имеем

Пусть теперь — отрицательное целое число. Но тогда — натуральное. Держа это в уме, получаем, что

Доказательство для бесконечного приведем с использованием операций с б.м. и б.б. (П.25).

Если , то

Если , то , поэтому предел будет равен .

Если , то , поэтому, используя связь б.м. и б.б. (П.26):

Докажем теперь следствие для конечного . Пусть имеем многочлен

Найдем его предел при , воспользовавшись доказанными выше равенствами и арифметическими свойствами пределов:

Если бесконечное, то вынесем за скобки :

Функция в скобках справа имеет предел, равный . Обозначим ее за . Значит, существует проколотая окрестность , в которой не равна (П.30). Это позволяет нам использовать операции с б.м. и б.б. (П.25):

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Операции с бесконечно малыми и большими
Основные арифметические между ограниченной и бесконечно малой (большой) функциями.
Связь бесконечно малых и бесконечно больших
Переход из бесконечно малых последовательностей в бесконечно большие и наоборот.
Свойства функций с конечным пределом
Наиболее полезные свойства функций, которые имеют конечный предел при произвольном стремлении аргумента.