Демидович
П.29
Предел функции
Предел степенной функции

Если — вещественное число, то на всей области определения () функции выполняется равнество:

Для бесконечного случая:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Рациональное

Докажем полезную формулу, которую используем далее:

Сначала докажем, что если , то

Доказывать будем по методу математической индукции.

База индукции:

Индукционный переход:

Пусть неравенство выполняется для какого-то натурального :

Домножим обе части на положительную скобку :

Осталось только доказать, что

Так как , то и . Поэтому неравенство выше можно усилить:

Итак, мы доказали, что

Индукционный переход доказан. Значит для любого натурального при выполняется неравенство:


Теперь докажем вариант этого неравенства с модулем. При этом, достаточно только потребовать :

По свойствам модуля (П.1) внутри мы можем поменять местами слагаемые и сделать так, чтобы из большего вычиталось меньшее:

Для определенности положим . Но тогда и , а значит модули можно просто убрать и мы получим уже доказанное выше неравенство:

Теперь докажем, что функция имеет следующие пределы:

Начнем с левого предела. По определению, для любого данного нужно найти такое , чтобы для любого из -окрестности значения функции попадали в -окрестность точки :

Обе части последнего неравенства возведем в степень :

Усилим это неравенство с помощью уже доказанного в начале решения неравенства:

Значит, за мы можем брать число . Тогда для любого такого , что

возвращаясь обратно по цепочке преобразований, будет выполняться

Это по определению означает, что

Доказательство при еще проще. Пусть нам дана граница . Нам нужно найти , чтобы выполнялось следствие:

Обе части последнего неравенства возводим в степень :

Значит, за можно взять .

Итак, для любого мы берем и тогда выполняются условия из определения предела. Это означает, что


Теперь проведем доказательство для рационального .

Если — рациональное число, его можно представить в виде:

Функцию можно представить следующим образом:

Итак, нам нужно доказать, что

Под знаком корня имеем степеную функцию с целым показателем. Это элементарный предел (П.28), поэтому:

Более того, не равна ни в одной пролотой окрестности точки .

Все это позволяет нам воспользоваться теоремой о пределе сложной функции (П.27):

Пользуясь уже доказанными пределами для корней степени выше, получаем, что

Для бесконечности действия аналогичные:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Предел сложной функции
Удобная формула для вычисления пределов с помощью замены переменной.
Элементарные пределы
Пределы функций, к которым сводятся множество задач.