Демидович
П.30
Предел функции
Свойства функций с конечным пределом

Пусть функция стремится к конечному , при стремлении ее аргумента к (конечному или бесконечному):

Тогда выполняются свойства ниже:

Ограниченность

Существует проколотая окрестность , в которой функция ограничена, то есть

Знакопостоянность

Если предел , то существует проколотая окрестность , в которой значения функции сохраняют знак предела .

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Ограниченность

Распишем по определению данный в условии факт, что при :

Нам нужно доказать, что существует какая-то окрестность, в которой ограничена. Докажем от противного.

Пусть такой окрестности не существует, то есть в любой окрестности точки функция является неограниченной. Раз неограничена в любой, то неограничена и в окрестности , которую мы получили для из определения предела функции:

Возьмем тогда следующее :

Для этого существует такой , что выполняется

Воспользуемся неравенством треугольника для модулей (см. прото-задачу П.1):

Но ведь , а значит для него, по определению предела функции в точке, должно выполняться неравенство:

Получили противоречие. Это означает, что наше предположение о неограниченности функции в любой окрестности было неверным. Получается, что все же существует какая-то окрестность , в которой функция ограничена.

Знакопостоянность

Докажем от противного. Это означает, что в любой окрестности точки можно найти такой , что и имеют разные знаки.

Возьмем тогда (расстояние от до ). Для этого мы не сможем найти окрестность точки , что для любого из нее значение попадет в промежуток между и (будет с одного знака). Раз такую окрестность мы найти не можем, значит не выполняется определение предела по Коши (П.33), то есть предела при не существует.

Получили противоречие. Значит, все же существует окрестность, в которой значения функции сохраняют знак предела.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Предел функции в точке
Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне. Доказательство эквивалентности этих определений.