Демидович
П.32
Предел функции
Отношения между бесконечностями

Бесконечность как значение

Пусть предел функции при стремлении к точке (как конечной, так и бесконечной) равен или . Тогда эта же функция имеет предел при том же стремлении , равный . Обратное утверждение не всегда выполняется!

Стремление к бесконечности

Пусть предел функции при стремлении к и к равен одному и тому же числу (как конечному, так и бесконечному). Тогда эта же функция имеет такой же предел при стремлении к . Обратное утверждение тоже верно.

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Бесконечность как значение

Докажем для . Доказательство случая с производится аналогично. Итак, пусть выполняется следующее равенство

По определению это означает, что

Нас интересует неравенство в конце:

Так как , то и . Значит, по определению модуля: :

Подставляя это неравенство с модулем вместо старой версии, получаем, что

Это по определению означает, что

Теперь докажем, что обратное утверждение не всегда выполняется. Для этого рассмотрим следующий пример:

Доказательство

Достаточно за взять число . Тогда

Это по определению означает, что

Предположим, что из равенства выше следует, что выполняется

По определению это означает, что

Но какое бы положительное мы не взяли, взяв любой отрицательный из промежутка получим, что отрицательное число , чего не может быть. Противоречие. Значит, функция при стремлении к не стремится к .

Аналогичным способом можно показать, что также не является пределом этой функции при том же стремлении.

Итак, стремление к совсем не всегда означает, что или . Иногда функция может просто стремиться к "напрямую".

Стремление к бесконечности

Итак, пусть выполняется равенство

Это по определению означает, что

Из определения видим, что импликация выполняется для каждого , для которого выполняется . В частности это означает, что неравенство выполняется для всех положительных , таких что . Но раз положительный, то от знака модуля можно избавиться. Итак, выполняется следующее:

А это по определению означает, что

Аналогично, неравенство выполняется для любых отрицательных , то есть , что по определению означает, что

Итак, мы доказали, что

Стремление к бесконечности

Пусть предел функции при стремлении к и к равен одному и тому же числу . Распишем по определению оба случая:

Тогда введем следующее обозначение:

Тогда для любой окрестности мы берем . Это означает, что для любого или любого будет выполняться . Но выполнение неравенств или можно объединить в одно неравенство по порото-задаче П.5. Итак:

Это по определению означает, что

Итак, мы доказали, что

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.