Демидович
П.33
Предел функции
Предел функции в точке

Пусть — предел функции в точке (конечной или бесконечной). Следующие определения эквиваленты:

По Коши

Другими словами, какую-бы окрестность точки мы не взяли, найдется проколотая окрестность точки , такая, что для любого из этой проколотой окрестности значение функции принадлежит окрестности .

По Гейне

Пусть — проколотая окрестность точки , в каждой точке которой функция определена.

Другими словами, для любой сходящейся к последовательности -ов, все члены которой находятся в , соответствующая ей последовательность значений функции должна иметь предел, равный .

Замечание: обратите внимание, что из следует, что ни один член произвольной последовательности не должен равняться !

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Коши Гейне

Пусть выполняется определение по Коши. Это означает, что для любой окрестности точки существует проколотая окрестность точки , такая, что .

Из выполнения определения по Коши автоматически следует, что существует какая-то окрестность , в каждой точке которой определена.

Зафиксируем произвольную окрестность . Из определения получим окрестность .

Рассмотрим произвольную последовательность , которая стремится к . По определению предела последовательности, для любой окрестности всегда найдется номер , после которого все члены попадают в заданную окрестность. Значит и для окрестности существует такой номер , что

Но по определению Коши выполняется , то есть для все того же номера уже для последовательности значений функции выполняется:

Подобные рассуждения можно провести для любой окрестности точки , что по определению означает, что

Итак, мы показали, что для произвольной последовательности , которая стремится к , соответствующая последовательность из значений функции стремится к .

Гейне Коши

Пусть выполняется определение по Гейне. Это означает, что для любой сходящейся к последовательности , соответствующая последовательность сходится к .

Докажем, что выполняется определение по Коши от противного. Пусть определение по Коши не выполняется. Рассмотрим его логическое отрицание:

Если словами, то существует какая-то особенная окрестность точки , такая, что какую проколотую окрестность точки ни возьми, в ней всегда найдется хитрый элемент , такой, что .

Наша задача состоит в том, чтобы построить из таких хитрых -ов последовательность, которая стремится к , но последовательность ее значений не будет стремится к , что и приведет к противоречию с определению по Гейне.

Способ построения различается в зависимости от того, конечно ли или нет.

Если — конечное число

Рапишем по определению, что означает :

Отметим, что . Введем новое обозначение:

Тогда для каждого натурального числа будем рассматривать окрестность вот такого вида:

Отметим, что . С помощью таких окрестностей мы для каждого из невыполнения определения по Коши будем получать . Более того, по мере увеличения окрестность будет все сильнее сжиматься. Для любого данного нам мы сможем найти такое , чтобы окрестность целиком помещалась в -окрестности . Это по определению означает, что построенная нами последовательность стремится к .

Если — бесконечное число

Пусть . Тогда окрестность имеет следующий вид:

Ометим, что . Тогда для каждого натурального будем рассматривать окрестность вот такого вида:

Отметим, что . Как и в случае с конечным , с помощью этих окрестностей мы получим последовательность , которая стремится к .

Итак, мы построили последовательность , которая стремится к , причем ни один ее член не попадает в . Это по определению означает, что последовательность значений функции не стремится к . Но противоречит определению по Гейне, которое по условию у нас выполняется!

Получили противоречие. Значит наше предположение, что определение по Коши не выполняется, было неверным. Значит, при выполнении определения по Гейне выполняется определение и по Коши.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!