Предел функции в точке | Демидович. Решения

П.33

Предел функции в точке

Пусть $b$ — предел функции $f (x)$ в точке $a$ (конечной или бесконечной). Следующие определения эквиваленты:

По Коши

$x \to a lim f (x) = b \Leftrightarrow \forall V (b) \exists \overset{˚}{U} (a) : f (\overset{˚}{U} (a)) \subset V (b)$

Другими словами, какую-бы окрестность $V$ точки $b$ мы не взяли, найдется проколотая окрестность $\overset{˚}{U}$ точки $a$ , такая, что для любого $x$ из этой проколотой окрестности значение функции $f (x)$ принадлежит окрестности $V (b)$ .

По Гейне

Пусть $\overset{˚}{D} (a)$ — проколотая окрестность точки $a$ , в каждой точке которой функция $f (x)$ определена.

$x \to a lim f (x) = b \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall {x_{n}} : {x_{n}} \subset \overset{˚}{D} (a) {x_{n}} \to a ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ \exists n \to \infty lim {f (x_{n})} = b$

Другими словами, для любой сходящейся к $a$ последовательности $x$ -ов, все члены которой находятся в $\overset{˚}{D} (a)$ , соответствующая ей последовательность значений функции должна иметь предел, равный $b$ .

Замечание: обратите внимание, что из ${x_{n}} \subset \overset{˚}{D} (a)$ следует, что ни один член произвольной последовательности ${x_{n}}$ не должен равняться $a$ !

Использование

384 П.25 П.27 П.30

Решение

Коши $\Rightarrow$ Гейне

Пусть выполняется определение по Коши. Это означает, что для любой окрестности $V (b)$ точки $b$ существует проколотая окрестность $\overset{˚}{U} (a)$ точки $a$ , такая, что $f (\overset{˚}{U} (a)) \subset V (b)$ .

Из выполнения определения по Коши автоматически следует, что существует какая-то окрестность $\overset{˚}{D} (a)$ , в каждой точке которой $f (x)$ определена.

Зафиксируем произвольную окрестность $V (b)$ . Из определения получим окрестность $\overset{˚}{U} (a)$ .

Рассмотрим произвольную последовательность ${x_{n}} \subset \overset{˚}{D} (a)$ , которая стремится к $a$ . По определению предела последовательности, для любой окрестности $a$ всегда найдется номер $N$ , после которого все члены ${x_{n}}$ попадают в заданную окрестность. Значит и для окрестности $\overset{˚}{U} (a)$ существует такой номер $N^{'}$ , что

$\forall n > N^{'} : x_{n} \in \overset{˚}{U} (a)$

Но по определению Коши выполняется $f (\overset{˚}{U} (a)) \subset V (b)$ , то есть для все того же номера $N^{'}$ уже для последовательности значений функции ${f (x_{n})}$ выполняется:

$\forall n > N^{'} : f (x_{n}) \in V (b)$

Подобные рассуждения можно провести для любой окрестности $V (b)$ точки $b$ , что по определению означает, что

$n \to \infty lim {f (x_{n})} = b$

Итак, мы показали, что для произвольной последовательности ${x_{n}} \subset \overset{˚}{D} (a)$ , которая стремится к $a$ , соответствующая последовательность из значений функции стремится к $b$ .

$■$

Гейне $\Rightarrow$ Коши

Пусть выполняется определение по Гейне. Это означает, что для любой сходящейся к $a$ последовательности ${x_{n}} \subset \overset{˚}{D} (a)$ , соответствующая последовательность ${f (x_{n})}$ сходится к $b$ .

Докажем, что выполняется определение по Коши от противного. Пусть определение по Коши не выполняется. Рассмотрим его логическое отрицание:

$\exists V (b) \forall \overset{˚}{U} (a) : f (\overset{˚}{U} (a)) \neq \subset V (b)$

Если словами, то существует какая-то особенная окрестность точки $b$ , такая, что какую проколотую окрестность $\overset{˚}{U} (a)$ точки $a$ ни возьми, в ней всегда найдется хитрый элемент $x^{'}$ , такой, что $f (x^{'}) \in / V (b)$ .

Наша задача состоит в том, чтобы построить из таких хитрых $x$ -ов последовательность, которая стремится к $a$ , но последовательность ее значений не будет стремится к $b$ , что и приведет к противоречию с определению по Гейне.

Способ построения различается в зависимости от того, конечно ли $a$ или нет.

Если

a

— конечное число

Рапишем по определению, что означает $\overset{˚}{D} (a)$ :

$\overset{˚}{D} (a) = {a - d_{1} < x < a + d_{2} и x \neq = a}$

Отметим, что $d_{1}, d_{2} > 0$ . Введем новое обозначение:

$d = min (d_{1}, d_{2})$

Тогда для каждого натурального числа $n$ будем рассматривать окрестность вот такого вида:

$\overset{˚}{U} (a, n) = {0 < ∣ x - a ∣ < \frac{d}{n}}$

Отметим, что $\overset{˚}{U} (a, n) \subset \overset{˚}{D} (a)$ . С помощью таких окрестностей мы для каждого $n$ из невыполнения определения по Коши будем получать $x_{n}^{'} \neq \in V (b)$ . Более того, по мере увеличения $n$ окрестность $\overset{˚}{U} (a, n)$ будет все сильнее сжиматься. Для любого данного нам $ε > 0$ мы сможем найти такое $n$ , чтобы окрестность $\overset{˚}{U} (a, n)$ целиком помещалась в $ε$ -окрестности $a$ . Это по определению означает, что построенная нами последовательность $x_{1}^{'}, x_{2}^{'}, \dots$ стремится к $a$ .

Если

a

— бесконечное число

Пусть $a = \infty$ . Тогда окрестность $\overset{˚}{D} (a)$ имеет следующий вид:

$\overset{˚}{D} (a) = {d < ∣ x ∣ < \infty}$

Ометим, что $d > 0$ . Тогда для каждого натурального $n$ будем рассматривать окрестность вот такого вида:

$\overset{˚}{U} (a, n) = {d n < ∣ x ∣ < \infty}$

Отметим, что $\overset{˚}{U} (a, n) \subset \overset{˚}{D} (a)$ . Как и в случае с конечным $a$ , с помощью этих окрестностей мы получим последовательность $x_{1}^{'}, x_{2}^{'}, \dots$ , которая стремится к $a$ .

Итак, мы построили последовательность ${x_{n}^{'}} \subset \overset{˚}{D} (a)$ , которая стремится к $a$ , причем ни один ее член не попадает в $V (b)$ . Это по определению означает, что последовательность значений функции ${f (x_{n}^{'})}$ не стремится к $b$ . Но противоречит определению по Гейне, которое по условию у нас выполняется!

Получили противоречие. Значит наше предположение, что определение по Коши не выполняется, было неверным. Значит, при выполнении определения по Гейне выполняется определение и по Коши.

$■$

По Коши

По Гейне

Коши ⇒ Гейне

Гейне ⇒ Коши

Коши $\Rightarrow$ Гейне

Гейне $\Rightarrow$ Коши