Демидович
П.3
Общее
Иррациональные неравенства

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Доказательство 1

Рассмотрим левую часть:

Мы не можем брать корень четной степени из отрицательных чисел, поэтому не может быть отрицательным:

должно быть больше нуля, ведь квадратный корень из всегда положительный:

Мы использовали знак строгого неравенства, чтобы исключить случай, когда .

Раз с обеих сторон от знака неравенства находятся положительные числа, то неравенство можно возвести в квадрат:

Объединяем все полученные неравенства:

Доказательство 2

Рассмотрим левую часть:

Мы не можем брать корень четной степени из отрицательного числа, поэтому не может быть отрицательным числом:

Рассмотрим два варианта. Число может быть неотрицательным ИЛИ отрицательным.

Нижняя фигурная скобка полностью удовлетворяет нашему неравенству , ведь любое отрицательное уже очевидно меньше, чем .

А вот верхняя скобка еще не удовлетворяет. Раз и , то можно возвести обе части неравенства в квадрат:

Поэтому верхнюю скобку записываем так:

Замечаем, что первое неравенство в этой скобке автоматически следует из двух последних, поэтому его можно опустить:

Объединяя все вместе:

Доказательство 3

Рассмотрим левую часть:

Мы не можем брать квадратный корень из отрицательных чисел, поэтому и не могут быть отрицательными:

Раз с обеих сторон от знака неравенства находятся положительные числа, то неравенство можно возвести в квадрат:

Объединяем все полученные неравенства:

Можно спокойно избавиться от центрального условия справа, так оно автоматом выполняется при выполнении двух оставшихся неравенств:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!