Разность степеней через произведение

Демидович

Введен некорректный запрос!
Можно вводить только числа от 1 до 4462.
Буквы и другие символы не допускаются!

Эта задача еще не добавлена!
Предложите свое решение!
Можете финансово поддержать проект.

К РЕШЕНИЮ

П.4

Общее

Разность степеней через произведение

Для всякого натурального $n$ и произвольных вещественных $a$ и $b$ выполняется равенство:

$a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1})$

Следствие:

$a^{n} - 1 = (a - 1) (a^{n - 1} + a^{n - 2} + \dots + a + 1)$

Использование

424 425 426 428 444 452 453 454 462 465 467

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!

Решение

Для доказательства просто найдем, чему равно произведение:

$(a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) = = - a^{n} a^{n} a^{n - 1} b a^{n - 1} b 0 a^{2} b^{n - 2} a^{2} b^{n - 2} 0 \dots \dots 0 a b^{n - 1} a b^{n - 1} 0 b^{n} b^{n} = = a^{n} - b^{n}$

$■$

Следствие, как нетрудно догадаться, доказывается заменой $b$ на $1$ .