Демидович
П.8
Последовательности
Ограниченность в арифметических операциях

Пусть даны две ограниченные последовательности и .

Тогда ограниченными являются следующие последовательности:

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Доказательство для

По определению ограниченной последовательности, для и существуют такие положительные и , что

Сложим оба этих неравенства:

По 6 свойству модулей (см. прото-задачу П.1):

Последнее по определению означает, что последовательность ограничена.

Доказательство для

По определению ограниченной последовательности, для и существуют такие положительные и , что

Уножим эти неравенства друг на друга (умножить можно, так как они состоят из положительных чисел):

По 4 свойству модулей (см. прото-задачу П.1):

Последнее по определению означает, что последовательность ограничена.

Насчет

Важно заметить, что из ограниченности и не следует ограниченность . Это легко показать на примере.

Пусть и . Первая очевидно ограничена, а ограничена сверху , а снизу .

Найдем их частное

Эта последовательность натуральных чисел. Она не ограничена сверху, так как для любого положительного числа всегда найдется большее его натуральное число.

Итак, и ограничены, но нет.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.