Демидович
П.9
Предел последовательности
Связь б.м. и б.б. последовательностей

Если , то , и наоборот, если , то .

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Докажем в одну сторону: если , то . Запишем развернуто:

Сначала выразим словами, как это будет доказываться. Мы из известного определения левого предела строим определение для правого.

Распишем по определению левый предел:

Раз выражение выше работает для любого , то оно будет работать и для положительного числа , то есть:

Теперь, это мы подставляем в определение выше, так как оно справедливо для всех положительных чисел.

Из него мы и получаем следующее:

Разберемся с последним неравенством:

Объединим все вместе "на словах". Из любого мы берем и подставляем его в определение выше. Оттуда получаем , такое, что для любого будет выполнятся неравенство:

Теперь запишем это же формально:

А это и есть определение бесконечно большой последовательности :

Наоборот, из следует, что доказывается точно так же.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!