Демидович
П.10
Предел последовательности
Элементарные пределы последовательностей
  1. если , то


Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Пункт 1)

Распишем по определению:

В последнем неравенстве можно избавиться от модуля, так как выражение под ним всегда положительное:

Изолируем :

Какое бы мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее и тогда требуемое по определению предела неравенство выше будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать будем по следующей формуле:

По этой формуле мы получаем округление сверху ("потолок") числа . Из определения "потолка" числа:

Так как в условии у нас , то следующее натуральное число после будет :

Итак, мы нашли формулу для , при которой определение предела выполняется. Таким образом, доказали, что:

Пункт 2)

Последовательность , так как это частный случай последовательности при . А последовательность , как мы показали в предыдущем пункте.

Теперь разберемся с . Ее можно представить в следующем виде:

Тогда

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!