Демидович
П.12
Предел последовательности
Отношение степенной и показательной последовательностей

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Идея доказательства

Исходная последовательность всегда больше , то есть с одной стороны она уже зажата:

Осталось найти такую хитрую убывающую геометрическую прогрессию, которая прижмет нашу последовательность справа:

Левая последовательность состоит из одних , а значит стремится к . Справа имеем убывающую геометрическую прогрессию, которая тоже сходится к (см. прото-задачу П.14) а значит, по теореме о двух милиционерах, и зажатая между ними последовательность тоже стремится к .

Дальше мы будем заниматься выводом убывающей геометрической прогрессии.

Последовательность отношений

Последовательность из условия:

Рассмотрим отношение двух соседних членов этой последовательности:

Получается, отношение двух соседних членов последовательности тоже представляет собой какую-то последовательностью. Назовем ее последовательностью отношений и обозначим за :

Зачем она нужна? Так как она является отношением соседних элементов , она показывает, что происходит с этой последовательностью по мере увеличения .

Убывание последовательности отношений

Докажем, что последовательность отношений убывает, то есть:

Итак, мы доказали, что она действительно убывает.

Последовательность отношений меньше

Докажем, что, начиная с какого-то номера , последовательность отношений будет строго меньше :

Рассмотрим неравенство в правой части:

Домножаем обе части на :

Берем корень -ой степени из обеих частей неравенства:

Вычитаем из обеих частей:

Делим обе части на (знаки не меняются, так как ) и умножаем на :

Так как натуральное (ведь это номер элемента последовательности), возьмем за округление сверху ("потолок") полученного выше выражения, увеличенного на :

Итак, мы нашли такой номер , что соответствующий ему член последовательности приращений будет строго меньше .

Итог по последовательности отношений

Мы доказали, что существует такой номер , что

Также мы доказали, что последовательность убывает. Это значит, что следующие члены после будут строго меньше :

В совокупности это означает, что со временем последовательность перестает возрастать, а затем и вовсе начинает убывать (в момент достижения ) с возрастающей скоростью (т.к. строго убывает).

Доказательство значения предела

Рассмотрим члены исходной последовательности , начиная с номера :

Пользуясь цепным неравенством в разделе итогов выше, замечаем, что

Поэтому справедливы следующие неравенства:

Обозначим , получаем следующее неравенство -го члена последовательности, начиная с -го элемента:

Преобразуем :

Заменим теперь и на соостветствующие выражения:

Теперь "зажмем" эту последовательность между и правой частью выведенного неравенства:

На первые членов последовательности, для которых неравенство в правой части может не выполняться не обращаем внимание. На предел эти первые членов не окажут никакого влияния (см. прото-задачу П.16).

"Последовательность" в левой части неравенства состоит из одних и, очевидно, стремится к .

В правой части имеем убывающую геометрическую прогрессию с знаменателем :

По прото-задаче П.14 мы знаем, что убывающая геометрическая прогрессия стремится к .

Итак, наша последовательность из условия зажата с одной строны нулем (который ) и, начиная с номера , зажата с другой стороны убывающей геометрической прогрессией (которая тоже ), а значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" последовательность тоже стремится к .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Предел геометрической прогрессии
Сходимость к нулю убывающих и к бесконечности возрастающих геометрических прогрессий.
Неизменность предела последовательности
Сохранение предела последовательности при добавлении или отбрасывании конечного числа ее членов.