Демидович
П.13
Предел последовательности
Сходимость по расширенным индексам

Пусть последовательность , и состоит только из натуральных чисел.

Тогда последовательность

сходится к числу :

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

По условию имеем, что . Распишем по определению:

Также по условию . Распишем по определению:

Рассмотрим теперь произвольное положительное число . Для него с помощью первого определения найдется такое , что для любого выполняется неравенство .

Но для числа с помощью второго определения можно найти такое , что для любого выполняется неравенство .

Но по условию состоит из натуральных чисел, поэтому все такие могут использоваться в качестве индексов для , а значит для всех будет выполняться неравенство

Итак, для любого найдется такое , что для любого будет выполняться неравенство .

Это по определению означает, что

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!