Демидович
П.14
Предел последовательности
Предел геометрической прогрессии

Пусть нам дана геометрическая прогрессия ():

Если , то:

Если и , то:

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Если

Докажем, что если , то

Покажем, что . По определению:

Рассмотрим неравенство в конце:

Вынесем степень за знаки модуля (см. прото-задачу П.1):

Прологарифмируем это неравенство по основанию . Так как основание , то знак неравенства меняется на противоположный:

Какое бы мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее и тогда требуемое по определению предела неравенство будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать будем по следующей формуле:

Докажем, что такое будет подходить определению доказываемого предела.

По этой формуле мы берем , если логарифм окажется отрицательным:

Если логарифм окажется положительным, то получаем его округление сверху ("потолок"). Из определения "потолка" числа:

Следующее натуральное число после будет , поэтому

Итак, мы показали, что любые натуральные подходят определению доказываемого предела.

Значит мы доказали по определению, что:

Теперь вернемся к исходному пределу:

Выносим константу из предела:

Если и

Докажем, что если и , то

Представим в следующем виде:

Раз , то . Но выше мы уже доказали, что геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим , сходится к , поэтому

Итак, последовательность — бесконечно малая. Но тогда обратная ей последовательность — бесконечно большая (см. прото-задачу П.9), поэтому:

Теперь вернемся к исходному пределу:

Выносим константу из предела:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Связь б.м. и б.б. последовательностей
Полезное свойство перехода из б.м. последовательностей в б.б. и наоборот.