Демидович
П.15
Предел последовательности
Расходимость гармонического ряда

Последовательность

называемая гармоническим рядом расходится:

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Вывод основного неравенства

Из прото-задачи П.24 или задачи 69 известно, что

Прологарифмируем это неравенство по основанию :

Делим обе части на :

Построение последовательностей

Рассмотрим последовательность , которая состоит из суммы выражений левой части неравенства выше:

Эту сумму можно записать в упрощенном виде:

Но логарифм с любым основанием от равен , поэтому

В то же время, как мы показали в неравенстве выше, каждая разность в развернутой записи меньше :

Заменяя каждую разность на соответствующую дродь получаем

Сумму в правой части обозначаем за последовательность :

Эта последовательность и называется гармоническим рядом.

Как мы только что показали,

Доказательство расходимости

Покажем, что расходится, то есть

По определению (см. задачу 45) это означает, что

Рассмотрим неравенство в конце:

От модуля можно избавиться, так как выражение под ним всегда больше :

Представим обе части неравенства в виде показателей степени с основанием (знак неравенства не изменится, так как ):

Итак, для любой потенциальной верхней границы нам достаточно взять по следующей формуле:

Тогда, какое-бы мы не взяли,

А раз такое произвольное

То

Итак, мы доказали, что расходится. Выше мы показали, что

Поэтому мы можем брать то же самое , что и для , и оно будет работать и для :

Итак,

А это по определению означает, что

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Второй замечательный предел (последовательность)
Вывод второго замечательного предела для последовательностей через бином Ньютона.