Демидович
П.17
Предел последовательности
Точные грани и предельные точки

Пусть нам дана последовательность , у которой есть некоторая предельная точка . Если — верхняя граница последовательности , то


Пусть нам дана последовательность , у которой есть некоторая предельная точка . Если — нижняя граница последовательности , то

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Доказывать будем для точной верхней грани и наибольшего частичного предела. Доказательство для точной нижней грани и наименьшего частичного предела аналогичное.


Докажем, что

Докажем от противного. Пусть — не точная верхняя грань последовательности . Значит существует более маленькая точная верхняя грань :

Обозначим за расстояние между и :

Так как — предельная точка , то существует некоторая подпоследовательность , у которой есть предел, равный :

Распишем по определению, что это означает:

Раз выражение верно для любого положительного , а значит выполняется и для :

Итак, для выполняется неравенство

Раскроем это неравенство с модулем по пункту 1 прото-задачи П.5:

Рассмотрим подробнее второе неравенство:

Прибавим к обеим частям :

Итак, мы предположили, что точная верхняя грань. Но получается, что все элементы при будут строго больше этой якобы точной верхней грани . Получили противоречие.

Это означает, что нет других верхних граней, которые меньше , а значит — точная верхняя грань последовательности .


Докажем, что

Пусть это не так и существует какая-то предельная точка , а значит

По определению наибольшего частичного предела это означает, что существует некоторая подпоследовательность , которая имеет предел

Раз выражение из определения выполняется для любого положительного числа, то оно будет выполняться и для числа . Итак, для существует такое , что все члены подпоследовательности после этого будут удовлетворять неравенству

Разложим неравенство с модулем по пункту 1 прото-задачи П.5:

Рассмотрим второе неравенство подробнее:

Прибавляем к обеим частям :

Итак, начиная с все члены подпоследовательности , а значит и некоторые члены исходной последовательности оказываются строго большими числа . Но по условию известно, что — верхняя граница последовательности . Получили противоречие, а значит не существует другой предельной точки .

Итак,

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.