Доказывать будем для точной верхней грани и наибольшего частичного предела. Доказательство для точной нижней грани и наименьшего частичного предела аналогичное.

Докажем, что

$$\sup x_n=A$$

Докажем от противного. Пусть $A$ — не точная верхняя грань последовательности $x_n$. Значит существует более маленькая точная верхняя грань $A^{\prime }$:

$$A^{\prime }<A$$

Обозначим за $E$ расстояние между $A^{\prime }$ и $A$:

$$E=A-A^{\prime }$$

Так как $A$ — предельная точка $x_n$, то существует некоторая подпоследовательность $x_{p_n}$, у которой есть предел, равный $A$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{p_n}=A$$

Распишем по определению, что это означает:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{p_n}=A\iff \forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N:|x_{p_n}-A|<\epsilon$$

Раз выражение верно для любого положительного $\epsilon$, а значит выполняется и для $E$:

$$\text{для }E\exists N=N(E)\forall n>N:|x_{p_n}-A|<E$$

Итак, для $n>N$ выполняется неравенство

$$|x_{p_n}-A|<A-A^{\prime }$$

Раскроем это неравенство с модулем по пункту 1 прото-задачи П.5:

$$|x_{p_n}-A|<A-A^{\prime }\iff \{\begin{array}{l}{x}_{p_n}-A<A-A^{\prime }\\ x_{p_n}-A>A^{\prime }-A\end{array}$$

Рассмотрим подробнее второе неравенство:

$$x_{p_n}-A>A^{\prime }-A$$

Прибавим к обеим частям $A$:

$$x_{p_n}>A^{\prime }$$

Итак, мы предположили, что $A^{\prime }$ точная верхняя грань. Но получается, что все элементы $x_{p_n}$ при $n>N$ будут строго больше этой якобы точной верхней грани $A^{\prime }$. Получили противоречие.

Это означает, что нет других верхних граней, которые меньше $A$, а значит $A$ — точная верхняя грань последовательности $x_n$.

$$\sup x_n=A$$

$■$

Докажем, что

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=A$$

Пусть это не так и существует какая-то предельная точка $A^{\prime }>A$, а значит

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=A^{\prime }$$

По определению наибольшего частичного предела это означает, что существует некоторая подпоследовательность $x_{g_n}$, которая имеет предел $A^{\prime }$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{g_n}=A^{\prime }\iff \forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N:|x_{g_n}-A^{\prime }|<\epsilon$$

Раз выражение из определения выполняется для любого положительного числа, то оно будет выполняться и для числа $A^{\prime }-A$. Итак, для $A^{\prime }-A$ существует такое $N$, что все члены подпоследовательности после этого $N$ будут удовлетворять неравенству

$$|x_{g_n}-A^{\prime }|<A^{\prime }-A$$

Разложим неравенство с модулем по пункту 1 прото-задачи П.5:

$$|x_{g_n}-A^{\prime }|<A^{\prime }-A\iff \{\begin{array}{l}{x}_{g_n}-A^{\prime }<A^{\prime }-A\\ x_{g_n}-A^{\prime }>A-A^{\prime }\end{array}$$

Рассмотрим второе неравенство подробнее:

$$x_{g_n}-A^{\prime }>A-A^{\prime }$$

Прибавляем к обеим частям $A^{\prime }$:

$$x_{g_n}>A$$

Итак, начиная с $N$ все члены подпоследовательности $x_{g_n}$, а значит и некоторые члены исходной последовательности $x_n$ оказываются строго большими числа $A$. Но по условию известно, что $A$ — верхняя граница последовательности $x_n$. Получили противоречие, а значит не существует другой предельной точки $A^{\prime }>A$.

Итак,

$$\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{x}_n=A$$

$■$