Демидович
П.18
Предел последовательности
Предельная точка последовательности

Пусть — предельная точка последовательности . Следующие определения эквиваленты:

Классическое определение

Другими словами, какую-бы окрестность точки мы не взяли, в ней всегда будет содержаться бесконечное количество элементов последовательности .

Через подпоследовательность

Существует подпоследовательность , которая стремится к .

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Классика подпоследовательность

Итак, имеем выполняющееся классическое определение.

Начнем строить подпоследовательность , которая стремится к .

Возьмем и . По классическому определению, для и существует такой номер члена последовательности, что . Итак, получили первый член подпоследовательности , который находится в -окрестности точки .

Возьмем и . По классическому определению, для и существует номер члена последовательности, что . Получили второй член подпоследовательности , который находится в -окрестности точки .

Продолжаем эту операцию и получаем подпоследовательность:

Заметим ключевую особенность. Если номер члена нашей подпоследовательности равен , то член лежит в -окрестности точки .

Причем, все остальные члены после (, , ) тоже лежат в -окрестности, потому что они лежат уже в своих окрестностях (, , ), которые целиком умещаются в -окрестности.

Теперь докажем, что

Распишем по определению:

Это определение полностью выполняется для нашей подпоследовательности, ведь для любого данного нам мы находим натуральное число такое, что:

Тогда все члены нашей подпоследовательности, начиная с номера , будут находиться в -окрестности, а значит и в -окрестности точки .

Подпоследовательность классика

Итак, имеем какую-то подпоследовательность , которая стремится к .

Докажем, что выполняется классическое определение, а именно

Итак, нам даются произвольные числа и . Задача: найти член (), который лежит в -окрестности .

Так как подпоследовательность сходится к , то для данного нам существует такое, что для всех члены будут в -окрестности .

Итак, в -окрестность попадает бесконечное число членов, начиная с номера :

Все номера вида являются натуральными числами, причем каждый следующий номер строго больше предыдущего. Рано или поздно, мы наткнемся номер . Следующий член нашей подпоследовательности будет удовлетворять двум условиям:

  1. Он находится в -окрестности
  2. Его номер больше

Вот мы и нашли такой член , который удовлетворяет классическому определению.

По этому алгоритму можно находить подобные члены для любых наперед заданных и , а значит выполняется классическое определение предельной точки.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!