Демидович
П.20
Предел последовательности
Предельный переход в неравенстве

Пусть даны две последовательности и . сходится к , а к .

Если выполняется неравенство

то

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Доказывать будем от противного. Пусть

По условию известно, что

По определению предела это означает, что

Это означает, что для любого положительного найдется такое , что для любого следующего за номера выполняется неравенство .

Значит и для положительного числа найдется такое , что для всех членов за ним будет выполняться неравенство:

Проводя аналогичные рассуждения для предела , найдется такое, что для всех членов за ним будет выполняться неравенство

Выбираем максимальное из и . Для такого максимального будут одновременно выполняться два неравенства:

Сложим оба неравенства друг с другом:

Воспользовавшись свойствами модулей, усилим неравенство:

Пояснение усиления

Итак, имеем

Есть свойство модулей:

Используем это свойство для первого слагаемого в неравенстве выше:

Есть еще одно свойство модулей:

Воспользуемся этим свойством для усиления неравенства:

Разобьем это неравенство на два по прото-задаче П.5:

Рассмотрим первое неравенство:

Вычтем из обеих частей :

Но по условию . Итак, получаем два противоречащих друг другу неравенства:

Итак, мы предположили, что и получили противоречие. А значит верно исходное предположение, то есть

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.