Демидович
П.21
Предел последовательности
Предел отношения логарифмической и степенной последовательностей

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение
Лемма 1

Исходя из определения функций потолка и пола числа:

Получается, что в общем случае:

А отсюда сразу получаем, что

Лемма 2

Из прото-задачи П.12 мы знаем, что

так как это частный случай упомянутых задач при .

Распишем по определению:

Раз выполняется для любого положительного , то выполняется и для :

Рассмотрим последнее неравенство:

От модуля можно избавиться, так как выражение под ним больше нуля:

Итак:

Из прото-задачи П.10 известно, что

Значит и для :

По прото-задаче П.9 получаем, что раз — бесконечно малая, то — бесконечно большая.

Раз выполняется для любой положительной границы , то выполняется и для числа :

Рассмотрим неравенство в конце:

От модуля можно избавиться, так как выражение под ним больше нуля:

По определению округления сверху ("потолка") числа:

Итак

Заметим, что любое — натуральное число, причем, из второй записи получается, что оно больше . Но раз любое (при ) больше то все такие числа подходят для первой записи, то есть

Теперь воспользуемся доказанной выше леммой 1:

По определению округления снизу ("пола") и "потолка" числа

Поэтому

Лемма 3

Пусть . Тогда, по лемме 2

Возводим обе части неравенства в коцне в степень :

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию . Так как , то знак неравенства не изменится:

Доказательство при

Раз , то (так как ), поэтому для всех выполняется неравенство

Доказательство при

Раз , то

Пусть

По лемме 3 получаем, что

Поделим обе части неравенства на положительное число :

По определению потолка числа:

Откуда

Запишем итоговое цепное неравенство:

"Последовательность" из слева стремится к . Последовательность справа тоже стремится к , как частный случай (см. прото-задачу П.10). Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к :

Доказательство при

Воспользуемся одним из свойств логарифмов:

Раз, , то , поэтому

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Связь б.м. и б.б. последовательностей
Полезное свойство перехода из б.м. последовательностей в б.б. и наоборот.
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Отношение степенной и показательной последовательностей
Предел отношения степенной и показательной последовательностей равен 0.