Демидович
П.22
Предел последовательности
Количество предельных точек

Если — предельные точки последовательности и каждый член есть хотя бы в одной из подпоследовательностей , таких, что

то других предельных точек у последовательности нет.

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Будем доказывать от противного. Пусть у последовательности существует еще одна отличная от всех других предельная точка . По определению это означает, что существует некоторая подпоследовательность , такая что

Рассмотрим число , равное

В числителе мы находим такие две предельные точки, расстояние между которыми минимально (включая в рассмотрение "якобы" предельную точку ). Затем найденное минимальное расстояние делим на , чтобы исключить пересечение -окрестностей для разных предельных точек.

Распишем по определению, что означает предел подпоследовательностей :

Раз все определения выполняются для любого положительного , то они выполняются и для ранее полученного числа .

Пусть

Итак, для существует такое , что для любого одновременно выполняются неравенства:

Каждое из этих неравенств означает, что член подпоследовательности лежит в -окрестности точки :

Рассмотрим последнее неравенство. Для существует такое , что для любого выполняется

Эта запись означает, что член подпоследовательности лежит в -окрестности точки . Этот член подпоследовательности является членом исходной последовательности с каким-то номером :

В условии сказано, что каждый член исходной последовательности принадлежит одной из подпоследовательностей . Значит и принадлежит одной из этих подпоследовательностей. Предположим, он принадлежит подпоследовательности . Это означает, что лежит в -окрестности точки , а не точки .

Подобные рассуждения можно провести для любого члена при . Это означает, что после никакой элемент не находится в -окрестности точки . Получили противоречие. Значит — не может быть предельной точкой последовательности .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!