Демидович
П.23
Предел последовательности
Связь наибольшего и наименьшего частичных пределов

В обоих утверждениях ниже речь идет о конечных наибольшем и наименьшем пределах!



Если и , то

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Доказательство 1 утверждения

Пусть , то есть — предельная точка . Тогда

Мы показали, что если — предельная точка , то — предельная точка .

Пусть , то есть — предельная точка . Тогда

Мы показали, что если — предельная точка , то — предельная точка .

Итак, рассмотрим теперь наименьший предел :

Тогда — предельная точка . Пусть не наибольший частичный предел . Значит, есть какая-то большая предельная точка последовательности :

Но — предельная точка и, так как — наименьший предел :

Сложим два этих неравенства:

Получили противоречие. Значит наше предположение, что существует какая-то предельная точка , которая больше было неверным. Значит

Умножаем обе части на :

Доказательство 2 утверждения

Пусть , то есть — предельная точка . Тогда

Мы показали, что если — предельная точка , то — предельная точка .

Пусть , то есть — предельная точка . Тогда

Мы показали, что если — предельная точка , то — предельная точка .

Итак, рассмотрим теперь наименьший предел :

Тогда — предельная точка . Пусть не наибольший частичный предел . Значит, есть какая-то большая предельная точка последовательности :

Но — предельная точка и, так как — наименьший предел :

Умножим эти неравенства друг на друга (знак неравенства не поменяется, так как все члены положительные):

Получили противоречие. Значит наше предположение, что существует какая-то предельная точка , которая больше было неверным. Значит

"Перевернем" дроби:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!