Демидович
П.24
Предел последовательности
Второй замечательный предел (последовательность)

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Докажем по методу математической индукции, что

База индукции: пусть . Получаем:

Индукционный переход: Предположим, что равенство выполняется для какого-то :

Домножим обе части неравенства на :

Осталось показать, что

Последнее неравенство выполняется, так как по условию , а даже при уже имеем, что

Итак, мы доказали, что

Но

Мы показали, что неравенство выполняется и для . Индукционный переход доказан.

Итак, мы доказали, что

Обозначим нашу последовательность из условия за :

Воспользуемся формулой бинома Ньютона, которую мы вывели в задаче 5:

Разложим по биному Ньютона -ый член последовательности :

Рассмотрим -ый член этой суммы:

Но

Поэтому перезапишем формулу для :

Теперь каждый множитель числителя будем поделим на ровно одно в знаменателе. хватит на все множителей в числителе:

Изучим . Во-первых, , так как и каждая скобка больше нуля. Более того, если вместо поставить , то вычитаемая из дробь в каждой скобке уменьшится, а значит сама скобка увеличится (кроме и , где скобок вообще нет).

Теперь, с готовой формулой для , запишем новую формулу для :

При увеличении на единицу в конце суммы добавится еще одно слагаемое . Плюс, как мы уже выяснили, каждое из увеличится (за исключением и ). Раз увеличилось число слагаемых и увеличилось каждое слагаемое по отдельности, то и сумма стала больше.

Поэтому последовательность возрастает.

Снова рассмотрим , начиная со элемента, когда появляется первая скобка:

Каждая скобка меньше . Поэтому, заменив все скобки на , получаем неравенство:

Сделаем подобную замену для всех в сумме, начиная с :

Усилим неравенство заменив все дроби вида на , начиная с третьего члена суммы. Усилится оно потому, что в самом начале решения мы доказали, что

В скобках у нас получаеся сумма первых членов геометрической прогрессии с знаменателем и первым членом, равным . Воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии:

Последняя скобка всегда меньше , поэтому заменяем ее на и получаем, что

Возвращаемся обратно к нашей большой сумме:

Наконец, получили верхнюю границу для :

Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху числом . Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел, а значит и имеет предел.


Мы показали, что последовательность имеет предел. Этот предел называют числом :

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!