Демидович
П.5
Общее
Упрощение модулей в неравенствах

Или, что тоже самое



Эта прото-задача является отрывком теории, которая понятно и подробно расписана в статье:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Доказательство 1

Рассмотрим, каким может быть :

Если , то и мы сразу получаем

Умножим обе части на :

Итак, из получаем цепное неравенство

Если , то и мы получаем

Умножаем обе части на :

Так как , то , поэтому

Итак, вне зависимости от мы получаем цепное неравенство:

Его можно перезаписать в виде

Доказательство 2

Рассмотрим, каким может быть :

Если , то и мы сразу получаем

Если , то и мы получаем

Умножаем обе части на :

Итак, в зависимости от имеем два возможных варианта:

Запишем в более привычной форме:

Доказательство 3

Возводим обе части в квадрат:

Но мы знаем, что и (см. прото-задачу П.1), поэтому можно "избавиться" от модулей. Получаем следующее неравенство:

Итак, мы показали, что

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.