Демидович
П.6
Общее
Неравенство синуса, тангенса и аргумента

Для справедливо следующее неравенство:

В общем случае, для любых вещественных :

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Острые углы

Рисунок к решению

Рассмотрим тригонометрическую окружность на прямоугольной системе координат. Напомню, что радиус у такой окружности равен . Пусть угол находится в промежутке . На окружности отметим две точки и , которые образованы пересечением окружности с лучами и , образующими угол .

По определению синуса высота равна . Найдем тогда площадь треугольника :

Площадь сектора круга :

По определению тангенса высота равна . Найдем тогда площадь треугольника :

Теперь замечаем, что треугольник целиком содержится в секторе круга, а сам этот сектор целиком содержится в треугольнике . Поэтому выполняется неравенство:

Умножаем все части неравенства на и получаем желаемый результат:

Не забываем, что при имеем поэтому:

Общий случай

Итак, для в промежутке :

В этом промежутке и синус, и не являются отрицательными числами, поэтому:

Поэтому для рассматриваемого промежутка выполняется:

Для в промежутке можно использовать те же рассуждения, что и для острых углов, но с учетом того, что

Итак, для в промежутке выполняется неравенство:

Пусть теперь лежит в промежутке . Этот факт можно выразить следующим выражением:

По прото-задаче П.5 выражение сверху можно представить так:

Тогда:

Итак, мы доказали, что для любого вещественного выполняется неравенство:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.