Демидович
П.7
Общее
Периоды тригонометрических функций

Функции , , и являются периодическими. Основной период и равен . Основной период и равен .

Использование
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Решение

Синус и косинус

Будем доказывать для синуса. Для косинуса доказательство аналогичное.

Числам , и соответствует одна и та же точка на тригонометрической окружности (если пройти по этой окружности лишний круг, то придешь туда, где был).

Поэтому:

Это означает, что функция синуса является периодической с периодом .

Теперь докажем, что — основной период , то есть это наименьший положительный период. Пусть это не так и существует некоторый период :

Пусть . Тогда:

Синус равняется только при углах, кратных , то есть может равняться только:

Неравенству удовлетворяет только , то есть:

Пусть теперь , тогда:

Получается, что наш синус для выбранного одновременно равняется и и . Противоречие. Значит, не является периодом синуса. Итак, мы от противного доказали, что является основным периодом функции .

Тангенс и котангенс

По определению тангенса/котангенса:

Докажем, что является их периодом:

Выше мы воспользовались формулами приведения. Мы доказали, что является периодом тангенса и котангенса.

Докажем теперь, что является основным периодом этих функций. Пусть это не так и существует некоторый период .

Пусть , тогда:

Тангенс равен нулю, когда его числитель, синус, равен . Синус равен только в точках при углах, кратных , то есть может равняться только:

Но наш период строго больше и строго меньше . Как видим, в этих пределах вообще нет значений, при которых синус равен . Для буквально нет значений. Значит, не является периодом для тангенса. Доказали, что основной период тангенса равен .

Переходим к котангенсу. Он равен нулю, когде его числитель, косинус, равен . Чтобы косинус равнялся , должен равняться только:

Неравенству удовлетворяет только , то есть:

Рассмотрим такой случай:

Получается, что котангенс одновременно не определен и равняется . Противоречие. Значит, не может быть периодом котангенса. Доказали, что основной период котангенса равен .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!