Установление границ

Так как все члены последовательности — правильные дроби, то как показывалось в задаче 16, ее точной верхней границей является $1$, а точной нижней — $0$.

$$0<\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\dots <1$$

Рассмотрим подпоследовательность вида:

$$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\dots ,\frac{n}{n+1}$$

Предел этой подпоследовательности (см. прото-задачу П.10):

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n-1}{n}=1$$

Итак, $1$ — верхняя граница исходной последовательности, а также предельная точка. По прото-задаче П.17 это означает, что $1$ — наибольший частичный предел, а это по определению означает, что никаких частичных пределов больше $1$ у последовательности быть не может.

Рассмотрим подпоследовательность вида:

$$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots ,\frac{1}{n}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$$

По уже озвученной выше причине это означает, что $0$ — наименьший частичный предел, а это по определению означает, что у последовательности не может быть частичных пределов, которые меньше $0$.

Итак, любые частичные пределы лежат между $0$ и $1$.

Рациональные предельные точки

Возьмем произвольное рациональное число $r$ от $0$ до $1$. По определению рационального числа это означает, что

$$r=\frac{d}{t},0<d<t$$

Эта правильная дробь есть в исходной последовательности. Построим теперь следующую подпоследовательность:

$$\frac{d}{t},\frac{2d}{2t},\frac{3d}{3t},\dots ,\frac{nd}{nt}$$

Заметьте, что это действительно подпоследовательность, так как каждый ее член в исходной последовательности лежит друг за другом:

$$\dots ,\frac{d-1}{t},\frac{d}{t},\frac{d+1}{t},\dots ,\frac{1}{2t}\dots ,\frac{2d}{2t},\dots$$

Итак, найдем предел этой подпоследовательности:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{nd}{nt}=\frac{d}{t}$$

Но $r=\frac{d}{t}$ — произвольное рациональное число от $0$ до $1$. Это означает, что любое рациональное число в этом промежутке будет являться частичным пределом.

Вещественные предельные точки

Рассмотрим произвольное иррациональное число $\alpha$ от $0$ до $1$. По определению это означает, что существует сечение, которое это число определяет.