Демидович
118

Найти частичные пределы следующих последовательностей:

Ответ

Все вещественные числа.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Установление границ

Так как все члены последовательности — правильные дроби, то как показывалось в задаче 16, ее точной верхней границей является , а точной нижней — .

Рассмотрим подпоследовательность вида:

Предел этой подпоследовательности (см. прото-задачу П.10):

Итак, — верхняя граница исходной последовательности, а также предельная точка. По прото-задаче П.17 это означает, что — наибольший частичный предел, а это по определению означает, что никаких частичных пределов больше у последовательности быть не может.

Рассмотрим подпоследовательность вида:

По уже озвученной выше причине это означает, что — наименьший частичный предел, а это по определению означает, что у последовательности не может быть частичных пределов, которые меньше .

Итак, любые частичные пределы лежат между и .

Рациональные предельные точки

Возьмем произвольное рациональное число от до . По определению рационального числа это означает, что

Эта правильная дробь есть в исходной последовательности. Построим теперь следующую подпоследовательность:

Заметьте, что это действительно подпоследовательность, так как каждый ее член в исходной последовательности лежит друг за другом:

Итак, найдем предел этой подпоследовательности:

Но — произвольное рациональное число от до . Это означает, что любое рациональное число в этом промежутке будет являться частичным пределом.

Вещественные предельные точки

Рассмотрим произвольное иррациональное число от до . По определению это означает, что существует сечение, которое это число определяет.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Точные грани и предельные точки
Связь точной верхней (нижней) грани с предельными точками последовательности.