Найти частичные пределы следующих последовательностей:
У последовательности есть две предельные точки: и .
Разделим исходную последовательность на две подпоследовательности с четными и нечетными номерами.
Найдем предел первой подпоследовательности:
Докажем, что
Последнее, очевидно, выполняется. Поэтому, можно "зажать" последовательность :
"Последовательность" из стремится к . Последовательность тоже стремится к (см. прото-задачу П.10). А значит, по теореме о двух милиционерах, последовательность тоже стремится к .
Поэтому
Найдем предел второй подпоследовательности:
Докажем, что
Последнее, очевидно, выполняется. Поэтому, можно "зажать" последовательность :
"Последовательность" из стремится к . Последовательность тоже стремится к . А значит, по теореме о двух милиционерах, последовательность тоже стремится к .
Поэтому
Итак, у последовательности есть две предельные точки: и . Так как любой член последовательности находится в одной из рассмотренных выше двух подпоследовательностей, то, по прото-задаче П.22, других предельных точек у нет.