Демидович
119

Найти частичные пределы следующих последовательностей:

Ответ

У последовательности есть две предельные точки: и .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Разделим исходную последовательность на две подпоследовательности с четными и нечетными номерами.

Найдем предел первой подпоследовательности:

Докажем, что

Последнее, очевидно, выполняется. Поэтому, можно "зажать" последовательность :

"Последовательность" из стремится к . Последовательность тоже стремится к (см. прото-задачу П.10). А значит, по теореме о двух милиционерах, последовательность тоже стремится к .

Поэтому

Найдем предел второй подпоследовательности:

Докажем, что

Последнее, очевидно, выполняется. Поэтому, можно "зажать" последовательность :

"Последовательность" из стремится к . Последовательность тоже стремится к . А значит, по теореме о двух милиционерах, последовательность тоже стремится к .

Поэтому


Итак, у последовательности есть две предельные точки: и . Так как любой член последовательности находится в одной из рассмотренных выше двух подпоследовательностей, то, по прото-задаче П.22, других предельных точек у нет.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Количество предельных точек
Важная теорема о количестве предельных точек последовательности.