Разделим исходную последовательность на две подпоследовательности с четными и нечетными номерами.

$$x_{2n}=3\left(1-\frac{1}{2n}\right)+2$$

$$x_{2n-1}=3\left(1-\frac{1}{2n-1}\right)-2$$

Найдем предел первой подпоследовательности:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }3\left(1-\frac{1}{2n}\right)+2=3\left(1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2n}\right)+2$$

Докажем, что

$$\frac{1}{2n}<\frac{1}{n}$$

$$n<2n$$

$$1<2$$

Последнее, очевидно, выполняется. Поэтому, можно "зажать" последовательность $\frac{1}{2n}$:

$$0<\frac{1}{2n}\le \frac{1}{n}$$

"Последовательность" из $0$ стремится к $0$. Последовательность $\frac{1}{n}$ тоже стремится к $0$ (см. прото-задачу П.10). А значит, по теореме о двух милиционерах, последовательность $\frac{1}{2n}$ тоже стремится к $0$.

Поэтому

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}==3\left(1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2n}\right)+2=3(1-0)+2=5$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}=5$$

Найдем предел второй подпоследовательности:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }3\left(1-\frac{1}{2n-1}\right)-2=3\left(1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2n-1}\right)-2$$

Докажем, что

$$\frac{1}{2n-1}\le \frac{1}{n}$$

$$n\le 2n-1$$

$$0\le n-1$$

Последнее, очевидно, выполняется. Поэтому, можно "зажать" последовательность $\frac{1}{2n-1}$:

$$0<\frac{1}{2n-1}\le \frac{1}{n}$$

"Последовательность" из $0$ стремится к $0$. Последовательность $\frac{1}{n}$ тоже стремится к $0$. А значит, по теореме о двух милиционерах, последовательность $\frac{1}{2n-1}$ тоже стремится к $0$.

Поэтому

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}==3\left(1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2n-1}\right)+2=3(1-0)-2=1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n-1}=1$$

Итак, у последовательности $x_n$ есть две предельные точки: $5$ и $1$. Так как любой член последовательности находится в одной из рассмотренных выше двух подпоследовательностей, то, по прото-задаче П.22, других предельных точек у $x_n$ нет.