Демидович
125

Доказать, что из ограниченной последовательности всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Делите отрезок пополам, выбирая ту его половину, в которой остается бесконечное количество членов последовательности.

Покажите, что точка, к которой приведут постоянные деления пополам, является предельной точкой последовательности.

Решение

Если последовательность ограничена, значит существуют верхняя и нижняя ее границы. Обозначим нижнюю границу за , а верхнюю за .

Итак, все члены последовательности заключены в отезке . Разделим этот отрезок пополам. Хотя бы в одной половине отезка будет бесконечно много элементов последовательности .

Доказательство

Докажем от противного. Пусть в обеих половинах отрезка (то есть во всем отрезке ) содержится только конечное число членов . Но по условию все члены (а их бесконечно много) содержатся в этом отрезке. Получили противоречие. Значит, хотя бы одна половина отрезка содержит бесконечно много членов последовательности .

Обозначим за ту половину, в которой содержится бесконечное число элементов из . Если в обеих половинах получили бесконечное членов, выбираем любую.

Точно так же выделяем из половину , в которой есть бесконечно много элементов последовательности . Продолжая этот процесс, простоим систему вложенных отрезков

причем длина отрезка вида равна

Доказательство

Докажем по методу математической индукции.

База индукции: пусть . Имеем отрезок , который является одной из половин отрезка . Раз он является половиной, до его длина в раза меньше длины исходного отрезка, то есть:

Индукционный переход:

Пусть для отрезка выполняется равенство:

Тогда отрезок будет являться одной из половин отрезка . Это означает, что его длина будет в раза меньше:

Индукционный переход доказан. Это означает, что доказываемое равенство выполняется для любого натруального .

Раз имеем систему вложенных отрезков, значит существует точка , которая принадлежит всем отрезкам системы.

Доказательство

Имеем два множества: и . Множество является множеством всех левых концов отрезков системы, — правых.

Любая левая граница любого отрезка системы лежит левее, то есть меньше, чем любая правая граница любого отрезка системы.

Это значит, что любой элемент из меньше, чем любой элемент из . По аксиоме непрерывности (полноты) существует вещественное число, такое, что

где и — любые элементы из и .


Докажем, что — предельная точка последовательности . Доказывать будем по классическому определению (см. прото-задачу П.18), то есть что в любой -окрестности содержится бесконечное число элементов .

Возьмем произвольное . Оно образует окрестность вида для точки . Наша задача — в системе вложенных отрезков найти отрезок такой длины, чтобы он целиком вмещался в этой окрестности.

Важно учесть, что мы не знаем, в какой части отрезка находится . Может получиться и так, что и будет одним из концов отрезка. В этом случае длина искомого отрезка должа быть меньше , то есть мы такой отрезок, чтобы выполнялось неравенство:

Прологарифмируем это неравенство по основанию :

Итак, для любого данного нам достаточно взять такое натуральное , чтобы выполнялось неравенство:

Тогда отрезок будет целиком помещаться в -окрестности точки . Но в этом отрезке, а значит и в -окрестности , содержится бесконечное количество элементов . Это по определению означает, что — предельная точка последовательности .

По второму определению предельной точки (см. прото-задачу П.18) это и означает, что существует некоторая подпоследовательность , которая стремится к .

Пример с иллюстрацией

Чтобы полностью понять ход доказательства выше, разберем простой пример.

На изображении ниже мы видим последовательность, которая целиком умещается в отрезке . Заметим также, что последовательность не имеет предела, она колеблется то вверх, то вниз и принимает одинаковые значения.

Пример

Мы начинаем строить систему вложенных отрезков и есть точка , которая всегда будет принадлежать каждому отрезку из этой системы. Причем в любой -окрестности можно найти отрезок, в котором имеется бесконечное количество элементов. На изображении это отрезок .

Это и означает, что — предельная точка последовательности .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Предельная точка последовательности
Даются два определения предельной точки последовательности. Доказывается эквивалентность этих определений.