Доказать, что если последовательность сходится, то последовательность средних арифметических
также сходится и
Обратное утверждение неверно: построить пример.
Доказать, что если последовательность сходится, то последовательность средних арифметических
также сходится и
Обратное утверждение неверно: построить пример.
Примем следующее обозначение:
Раз сходится, то существует какое-то такое, что
Распишем это по определению предела:
Возьмем теперь произвольное . Число тоже положительное, поэтому для него выполняется определение выше, то есть существует такое , что выполняется неравенство:
Рассмотрим теперь, чему равно :
Разделим эту большую дробь на две поменьше:
Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):
Теперь рассмотрим оба слагаемых по отдельности. Начнем с
Числитель этой дроби — константа, поэтому легко найти предел:
Здесь мы воспользовались тем, что .
По определению это означает, что
Раз выполняется для любого , то и для найдется такое , что для всех будет выполняться неравенство
Итак, возвращаясь к нашему неравенству, имеем
Стоит заметить, что здесь речь уже идет о , чтобы выполнялись сразу оба неравенства из определений для и .
Разберемся теперь со вторым модулем:
Но для всех при выполняется неравенство . Упростим это неравенство по пункту 1 прото-задачи П.5:
Нас интересует только первое неравенство справа:
Итак,
Имеем следующее выражение:
В нем все кроме является константой, поэтому все это выражение тоже стремится к (как и дробь, которую мы рассмотрели выше). Значит, можно найти такое , что для любого выполняется неравенство:
Возвращаемся к неравенству:
Стоит заметить, что здесь речь уже идет о , чтобы выполнялись сразу стри неравенства из определений для и и .
Итак,
Мы показали, что какое бы положительное число мы не взяли, всегда найдутся три таких , что для любого будет выполняться неравенство:
Это по определению означает, что
В качестве примера неверности обратного утверждения рассмотрим последовательность :
У этой последовательности есть два разных частичных предела для четных и для нечетных . Это значит, расходится.
Рассмотрим теперь :
Если — четное, то количество будет равно количеству и числитель, а значит и само . Если — нечетное, то в числителе все слагаемые тоже обратятся в за исключением последней .
Итак, получили две подпоследовательности:
Получается, что — предельная точка . Но любой член лежит либо в , либо в , а по прото-задаче П.22 это означает, что других предельных точек у нет.
Итак, у есть только одна предельная точка . По прото-задаче П.19 это означает, что
Мы доказали, что существует такая расодящаяся , что ее последовательность средних арифметических сходится.