Демидович
138

Доказать, что если последовательность сходится, то последовательность средних арифметических

также сходится и

Обратное утверждение неверно: построить пример.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Примем следующее обозначение:

Раз сходится, то существует какое-то такое, что

Распишем это по определению предела:

Возьмем теперь произвольное . Число тоже положительное, поэтому для него выполняется определение выше, то есть существует такое , что выполняется неравенство:

Рассмотрим теперь, чему равно :

Разделим эту большую дробь на две поменьше:

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

Теперь рассмотрим оба слагаемых по отдельности. Начнем с

Числитель этой дроби — константа, поэтому легко найти предел:

Здесь мы воспользовались тем, что .

По определению это означает, что

Раз выполняется для любого , то и для найдется такое , что для всех будет выполняться неравенство

Итак, возвращаясь к нашему неравенству, имеем

Стоит заметить, что здесь речь уже идет о , чтобы выполнялись сразу оба неравенства из определений для и .

Разберемся теперь со вторым модулем:

Но для всех при выполняется неравенство . Упростим это неравенство по пункту 1 прото-задачи П.5:

Нас интересует только первое неравенство справа:

Итак,

Имеем следующее выражение:

В нем все кроме является константой, поэтому все это выражение тоже стремится к (как и дробь, которую мы рассмотрели выше). Значит, можно найти такое , что для любого выполняется неравенство:

Возвращаемся к неравенству:

Стоит заметить, что здесь речь уже идет о , чтобы выполнялись сразу стри неравенства из определений для и и .

Итак,

Мы показали, что какое бы положительное число мы не взяли, всегда найдутся три таких , что для любого будет выполняться неравенство:

Это по определению означает, что


В качестве примера неверности обратного утверждения рассмотрим последовательность :

У этой последовательности есть два разных частичных предела для четных и для нечетных . Это значит, расходится.

Рассмотрим теперь :

Если — четное, то количество будет равно количеству и числитель, а значит и само . Если — нечетное, то в числителе все слагаемые тоже обратятся в за исключением последней .

Итак, получили две подпоследовательности:

Получается, что — предельная точка . Но любой член лежит либо в , либо в , а по прото-задаче П.22 это означает, что других предельных точек у нет.

Итак, у есть только одна предельная точка . По прото-задаче П.19 это означает, что

Мы доказали, что существует такая расодящаяся , что ее последовательность средних арифметических сходится.

Указание

Докажите, что если сходится к , то для любого существует номер , такой, что любое среднее арифметическое от до произвольного находятся в -окрестности .

Разложите так, чтобы получить удовлетворяющие лемме средние арифметические и докажите сходимость по определению предела.

Решение

Лемма

Для членов сходящейся к какому-то последовательности справедлива следующая лемма:

Для любого существует номер , такой, что любые средние арифметические от до произвольного попадают в -окрестность :

Доказательство

По условию последовательность сходится, то есть

По определению это означает, что

Неравенство в конце можно разложить (П.5):

В последнем неравенстве у индекс может быть равен любому натуральному числу, начиная с :

Сложим все эти неравенства друг с другом:

Задача

Докажем теперь, что последовательность средних арифметических сходится к . Доказывать будем по определению предела.

Фиксируем какое-то . Для этого найти такое , чтобы для любого выполнялось неравенство .

Возьмем число и для него по доказанной выше лемме получаем номер и разложим следующим образом:

Найдем теперь пределы последовательностей и в этом разложении:

Действительно, в числителе имеем сумму конечного числа членов, то есть константу, а в знаменателе бесконечно возрастающую последовательность натуральных чисел (начиная с ).

Возвращаемся к неравенству , которое нам нужно доказать, и воспользуемся полученным разложением:

Воспользуемся неравенством треугольника (П.1):

С учетом того, что при любом будет меньше , можно из получить неравенство . Итак, получаем финальный вариант неравенства:

Вспоминаем, что мы разложили специально под по лемме из начала решения. Поэтому:

Используем это в нашем неравенстве:

Наконец, произведение стремится к , то есть к , поэтому по определению предела для найдется такое , что

Тогда введем обозначение и для этого уже выполняется неравенство:

Теперь скроем все промежуточные звенья цепного неравенства и получаем:

Итак, мы для произвольного всегда сможем найти , такое, что для любого будет выполняться неравенство . Это по определению означает, что последовательность сходится к

Пример неверности обратного утверждения приведен в конце разбора 1.

Указание

Воспользуйтесь теоремой Штольца из задачи 143.

Решение

Попробуем воспользоваться теоремой Штольца (143).

Для этого введем новые обозначения:

Последовательность натуральных чисел строго возрастает и стремится к .

Теперь попытаемся найти предел:

В конце рассуждений мы воспользовались тем, что последовательность является "смещенной на член вперед" подпоследовательностью сходящейся последовательности , а значит имеет такой же предел П.19.

Итак, все условия теоремы Штольца выполняются, а значит последовательность

сходится и ее предел равен пределу последовательности .

Пример неверности обратного утверждения приведен в конце разбора 1.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.
Количество предельных точек
Важная теорема о количестве предельных точек последовательности.