Демидович
138

Доказать, что если последовательность сходится, то последовательность средних арифметических

также сходится и

Обратное утверждение неверно: построить пример.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Примем следующее обозначение:

Раз сходится, то существует какое-то такое, что

Распишем это по определению предела:

Возьмем теперь произвольное . Число тоже положительное, поэтому для него выполняется определение выше, то есть существует такое , что выполняется неравенство:

Рассмотрим теперь, чему равно :

Разделим эту большую дробь на две поменьше:

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

Теперь рассмотрим оба слагаемых по отдельности. Начнем с

Числитель этой дроби — константа, поэтому легко найти предел:

Здесь мы воспользовались тем, что .

По определению это означает, что

Раз выполняется для любого , то и для найдется такое , что для всех будет выполняться неравенство

Итак, возвращаясь к нашему неравенству, имеем

Стоит заметить, что здесь речь уже идет о , чтобы выполнялись сразу оба неравенства из определений для и .

Разберемся теперь со вторым модулем:

Но для всех при выполняется неравенство . Упростим это неравенство по пункту 1 прото-задачи П.5:

Нас интересует только первое неравенство справа:

Итак,

Имеем следующее выражение:

В нем все кроме является константой, поэтому все это выражение тоже стремится к (как и дробь, которую мы рассмотрели выше). Значит, можно найти такое , что для любого выполняется неравенство:

Возвращаемся к неравенству:

Стоит заметить, что здесь речь уже идет о , чтобы выполнялись сразу стри неравенства из определений для и и .

Итак,

Мы показали, что какое бы положительное число мы не взяли, всегда найдутся три таких , что для любого будет выполняться неравенство:

Это по определению означает, что


В качестве примера неверности обратного утверждения рассмотрим последовательность :

У этой последовательности есть два разных частичных предела для четных и для нечетных . Это значит, расходится.

Рассмотрим теперь :

Если — четное, то количество будет равно количеству и числитель, а значит и само . Если — нечетное, то в числителе все слагаемые тоже обратятся в за исключением последней .

Итак, получили две подпоследовательности:

Получается, что — предельная точка . Но любой член лежит либо в , либо в , а по прото-задаче П.22 это означает, что других предельных точек у нет.

Итак, у есть только одна предельная точка . По прото-задаче П.19 это означает, что

Мы доказали, что существует такая расодящаяся , что ее последовательность средних арифметических сходится.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.
Количество предельных точек
Важная теорема о количестве предельных точек последовательности.