165 | Демидович. Решения

Пункт а)

$y = (2 x)!$

Факториал определяется для натруальных чисел. То есть $2 x$ должно быть натуральным числом:

$2 x = n, n \in N$

Тогда

$x = \frac{n}{2}, n \in N$

Итак, область определения функции $y$ :

$\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots, \frac{n}{2}$

$y = lo g_{2} lo g_{3} lo g_{4} x$

По определению логарифма должно выполняться неравенство:

$lo g_{3} lo g_{4} x > 0$

Представим обе части неравенства в виде показателей степени с основанием $3$ :

$3^{l o g_{3} l o g_{4} x} > 3^{0}$

$lo g_{4} x > 1$

Представим обе части неравенства в виде показателей степени с основанием $4$ :

$4^{l o g_{4} x} > 4^{1}$

$x > 4$

Это и есть область определения функции $y$ .

$y = 4 l g t g x$

Корень $4$ степени можно брать только из неотрицательных вещественных чисел, поэтому

$l g t g x \geq 0$

Представим обе части неравенства в виде показателей степени с основанием $10$ :

$1 0^{l g t g x} \geq 1 0^{0}$

$t g x \geq 1$

Беря во внимание тот факт, что $t g \frac{π}{4} = 1$ , то

$\frac{π}{4} \leq x < \frac{π}{2}$

По формулам приведения имеем:

$t g (π + x) = \frac{sin ( π + x )}{cos ( π + x )} = \frac{- sin x}{- cos x} = \frac{sin x}{cos x} = t g (x)$

Поэтому выполняется выполняется неравенство:

$\frac{π}{4} + π k \leq x < \frac{π}{2} + π k, k \in Z$