Во время решения будем ориентироваться на следующий рисунок:

По определению, синус угла $x$ равен отношению противолежащего катета $h$ (в нашем случае это высота) к гипотенузе $AB$.

$$\sin (x)=\frac{AB}{h}$$

Заменим $AB$ на ее величину (по условию) и выразим $h$:

$$h=6\sin (x)$$

Площадь

Площадь любого треугольника равна половине произведения основания $AC$ на высоту $h$.

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot h$$

В нашем случае основание нам дано по условию ($8$ см), а высоту мы нашли ранее:

$$S(x)=24\sin (x)$$

Построим график функции $S(x)$ при условии, что угол $x$ изменяется от $0$ до $\frac{\pi }{2}$. Других значений $x$ принимать не может, так как угол треугольника не может быть меньше $0$ и больше $90$ градусов.

Видно, что площадь возрастает от $0$, когда обе известные стороны треугольника совмещены, до $24$, когда треугольник становится прямоугольным с данными по условию катетами.

Сторона $a$

Найдем длину $AD$. Этот катет является прилежащим к углу $x$, поэтому его отношение к гипотенузе $AB$ равно косинусу угла $x$:

$$\cos (x)=\frac{AD}{AB}$$

Подставим вместо $AB$ известную по условию длину и выразим из формулы $AD$:

$$AD=6\cos (x)$$

Теперь найдем длину $DC$:

$$DC=AC-AD$$

Воспользуемся известными нам данными:

$$DC=8-6\cos (x)$$

Используем теорему Пифагора:

$$a^2=h^2+D{C}^2$$

Мы уже знаем формулы для $h$ и $DC$:

$$\begin{gathered} a^2=36{\sin }^2(x)+(8-6\cos (x){)}^2= \\ =36{\sin }^2(x)+64-96\cos (x)+36{\cos }^2(x)= \\ =36(\underset{1}{\underbrace{{\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)}})+64-96\cos (x) \end{gathered}$$

Выше мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством:

$$a^2=36+64-96\cos (x)$$

$$a^2=100-96\cos (x)$$

Берем квадратный корень из обеих частей равенства и получаем итоговое уравнение для стороны $a$:

$$a(x)=\sqrt{100-96\cos (x)}$$

Построим график $a(x)$ при условии, что угол $x$ изменяется от $0$ до $\frac{\pi }{2}$.

Видно, что длина стороны возрастает от $2$, когда две другие стороны лежат друг на друге («верхняя» короче на $2$ см), до $10$, когда треугольник становится прямоугольным.

Графики смотрите в «Разборе 1».

Сторона $a$

Нам нужно найти сторону $a$, которая расположена как раз напротив угла $x$. Воспользуемся теоремой косинусов:

$$a^2=A{C}^2+A{B}^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot \cos (x)$$

Воспользуемся данными из условия:

$$a^2=64+36-2\cdot 8\cdot 6\cdot \cos (x)$$

$$a^2=100-96\cos (x)$$

Берем квадратный корень из обеих частей равенства и получаем итоговое уравнение для стороны $a$:

$$a(x)=\sqrt{100-96\cos (x)}$$

Площадь

Площадь треугольника можно найти по двум его сторонам и углу между ними:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin (x)$$

Подставляем известные длины сторон:

$$S(x)=24\sin (x)$$