Демидович
172

В треугольнике сторона , сторона и угол . Выразить и площадь треугольника как функции переменной . Построить графики функций и .

Ответ

Площадь треугольника как функция от :

Длина стороны как функция от :

Графики приведены в "Разборе 1".

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Постройте высоту и воспользуйтесь базовыми тригонометрическими формулами.

Решение

Во время решения будем ориентироваться на следующий рисунок:

Опорное построение

По определению, синус угла равен отношению противолежащего катета (в нашем случае это высота) к гипотенузе .

Заменим на ее величину (по условию) и выразим :

Площадь

Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту .

В нашем случае основание нам дано по условию ( см), а высоту мы нашли ранее:

Построим график функции при условии, что угол изменяется от до . Других значений принимать не может, так как угол треугольника не может быть меньше и больше градусов.

График площади треугольника

Видно, что площадь возрастает от , когда обе известные стороны треугольника совмещены, до , когда треугольник становится прямоугольным с данными по условию катетами.

Сторона

Найдем длину . Этот катет является прилежащим к углу , поэтому его отношение к гипотенузе равно косинусу угла :

Подставим вместо известную по условию длину и выразим из формулы :

Теперь найдем длину :

Воспользуемся известными нам данными:

Используем теорему Пифагора:

Мы уже знаем формулы для и :

Выше мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством:

Берем квадратный корень из обеих частей равенства и получаем итоговое уравнение для стороны :

Построим график при условии, что угол изменяется от до .

График длины стороны "a"

Видно, что длина стороны возрастает от , когда две другие стороны лежат друг на друге ("верхняя" короче на см), до , когда треугольник становится прямоугольным.

Разбор 2
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь теоремой косинусов и формулой площади треугольника через синус.

Решение

Графики смотрите в "Разборе 1".

Сторона

Нам нужно найти сторону , которая расположена как раз напротив угла . Воспользуемся теоремой косинусов:

Воспользуемся данными из условия:

Берем квадратный корень из обеих частей равенства и получаем итоговое уравнение для стороны :

Площадь

Площадь треугольника можно найти по двум его сторонам и углу между ними:

Подставляем известные длины сторон:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!