Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 172
Нормальная

В треугольнике сторона , сторона и угол . Выразить и площадь треугольника как функции переменной . Построить графики функций и .

Ответ

Площадь треугольника как функция от :

Длина стороны как функция от :

Графики приведены в «Разборе 1».

Указание

Постройте высоту и воспользуйтесь базовыми тригонометрическими формулами.

Решение

Во время решения будем ориентироваться на следующий рисунок:

Опорное построение

По определению, синус угла равен отношению противолежащего катета (в нашем случае это высота) к гипотенузе .

Заменим на ее величину (по условию) и выразим :

Площадь

Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту .

В нашем случае основание нам дано по условию ( см), а высоту мы нашли ранее:

Построим график функции при условии, что угол изменяется от до . Других значений принимать не может, так как угол треугольника не может быть меньше и больше градусов.

График площади треугольника

Видно, что площадь возрастает от , когда обе известные стороны треугольника совмещены, до , когда треугольник становится прямоугольным с данными по условию катетами.

Сторона

Найдем длину . Этот катет является прилежащим к углу , поэтому его отношение к гипотенузе равно косинусу угла :

Подставим вместо известную по условию длину и выразим из формулы :

Теперь найдем длину :

Воспользуемся известными нам данными:

Используем теорему Пифагора:

Мы уже знаем формулы для и :

Выше мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством:

Берем квадратный корень из обеих частей равенства и получаем итоговое уравнение для стороны :

Построим график при условии, что угол изменяется от до .

График длины стороны "a"

Видно, что длина стороны возрастает от , когда две другие стороны лежат друг на друге («верхняя» короче на см), до , когда треугольник становится прямоугольным.

Указание

Воспользуйтесь теоремой косинусов и формулой площади треугольника через синус.

Решение

Графики смотрите в «Разборе 1».

Сторона

Нам нужно найти сторону , которая расположена как раз напротив угла . Воспользуемся теоремой косинусов:

Воспользуемся данными из условия:

Берем квадратный корень из обеих частей равенства и получаем итоговое уравнение для стороны :

Площадь

Площадь треугольника можно найти по двум его сторонам и углу между ними:

Подставляем известные длины сторон: