Задача 174 — Демидович

На сегменте $0 \leq x \leq 1$ оси $O x$ равномерно распределена масса, равная $2 г$ , а в точках этой оси $x = 2$ и $x = 3$ находятся сосредоточенные массы по $1 г$ в каждой. Составить аналитическое выражение функции $m = m (x) (- \infty < x < + \infty)$ , численно равной массе, находящейся в интервале $(- \infty, x)$ , и построить график этой функции.

Ответ

$m (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 2 x, 2, - \infty < x \leq 0 0 < x \leq 1 1 < x \leq 2$

График функции есть в конце «Разбора 1».

Петр Радько

Указание

Убедитесь, что полностью понимаете, что из себя представляет функция $m (x)$ .

Разбейте процесс нахождения функции $m (x)$ на несколько этапов, в зависимости от «точек массы» на оси $O x$ .

Для определения финальной функции $m (x)$ постройте кусочно-заданную функцию.

Решение

Обратим внимание на определение $m (x)$ из условия. Ключевое слово — интервал. То есть, мы берем всю массу слева от $x$ не рассматривая массу в самой точке $x$ ! Игнорирование этот факта приведет к неправильным значениям $m (x)$ «на краях» отрезков и интервалов.

Построение функции

Их условия задачи на оси $O x$ можно выделить $5$ «ключевых точек»: $0, 1, 2, 3$ . Будем строить функцию $m (x)$ постепенно.

На полуинтервале $- \infty < x \leq 0$ значение функции $m (x)$ равно $0$ , потому что на интервале $(- \infty, 0)$ никакой массы нет.

$m (x) = {0, - \infty < x \leq 0$

На полуинтервале $0 < x \leq 1$ значение функции $m (x)$ должно представлять собой линейную функцию, потому что на отрезке $[0, 1]$ равномерно распределено $2 г$ массы. До $x = 0$ значение $m (x)$ было равно $0$ . После $x = 1$ значение $m (x)$ будет равно $2$ . Значит, на рассматриваемом нами полуинтервале $m (x)$ линейно растет от $0$ до $2$ .

$m (x) = {0, 2 x, - \infty < x \leq 0 0 < x \leq 1$

На полуинтервале $1 < x \leq 2$ значение функции $m (x)$ равно константе $2$ , потому что для любой точки этого интервала слева имеется только $2 г$ массы отрезка $[0, 1]$ . Заметьте, мы не включаем массу в $1$ грамм в точке $x = 2$ , потому что эта точка не включается в интервал, из которого строится значение функции (см. начало решения).

$m (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 2 x, 2, - \infty < x \leq 0 0 < x \leq 1 1 < x \leq 2$

На полуинтервале $2 < x \leq 3$ значение функции $m (x)$ равно константе $3$ , потому что для любой точки этого интервала слева имеется $2 г$ массы отрезка $[0, 1]$ и $1 г$ массы точки $x = 2$ .

$m (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 2 x, 2, 3, - \infty < x \leq 0 0 < x \leq 1 1 < x \leq 2 2 < x \leq 3$

На интервале $3 < x < + \infty$ значение функции $m (x)$ равно константе $4$ , потому что для любой точки этого интервала слева находится вся масса из условия задачи: $2 г$ отрезка $[0, 1]$ , $1 г$ точки $x = 2$ и $1 г$ точки $x = 3$ .

$m (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 2 x, 2, 3, 4, - \infty < x \leq 0 0 < x \leq 1 1 < x \leq 2 2 < x \leq 3 3 < x < + \infty$

График функции

График

173 175