График

Доказательство равенства

Все возможные значения, которые может принимать $x$, разобьем на три промежутка: $x<0$, $x=0$ и $x>0$.

Если $x<0$, то $|x|=-x$ и $\mathrm{sgn}x=-1$. Получаем:

$$\begin{gathered} -x=x\cdot (-1) \\ -x=-x \end{gathered}$$

Если $x=0$, то $|x|=0$ и $\mathrm{sgn}x=0$. Получаем:

$$\begin{gathered} 0=0\cdot 0 \\ 0=0 \end{gathered}$$

Если $x>0$, то $|x|=x$ и $\mathrm{sgn}x=1$. Получаем:

$$\begin{gathered} x=x\cdot 1 \\ x=x \end{gathered}$$

Итак, доказываемое равенство выполняется для любых вещественных $x$.

$■$