Задача 175 — Демидович

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Нормальная

Функция $y = sgn x$ определяется следующим образом:

$sgn x = ⎩ ⎨ ⎧ - 1, - 0, - 1, если x < 0; если x = 0; если x > 0.$

Построить график этой функции. Показать, что

$∣ x ∣ = x sgn x .$

Указание

Для доказательства равенства рассмотрите три случая:

Решение

График

Все возможные значения, которые может принимать $x$ , разобьем на три промежутка: $x < 0$ , $x = 0$ и $x > 0$ .

Если $x < 0$ , то $∣ x ∣ = - x$ и $sgn x = - 1$ . Получаем:

$- x = x \cdot (- 1) - x = - x$

Если $x = 0$ , то $∣ x ∣ = 0$ и $sgn x = 0$ . Получаем:

$0 = 0 \cdot 0 0 = 0$

Если $x > 0$ , то $∣ x ∣ = x$ и $sgn x = 1$ . Получаем:

$x = x \cdot 1 x = x$

Итак, доказываемое равенство выполняется для любых вещественных $x$ .

$■$