Демидович
186

Переменная пробегает интервал . Определить, какое множество пробегает переменная , если:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Из данной в условии формулы для выразите . Затем подставьте найденное выражение для в неравенство для .

Решение

Видим, что является результатом взятия корня из какого-то числа. Это сразу накладывает ограничение на значения, которые может принимать :


Выразим из выражения из условия:

Возводим обе части равенства в квадрат:

Умножаем обе части на :

В правой части выполним дополнение до полного квадрата:


Тут важный момент. Брать корень мы можем только тогда, когда левая часть не меньше , поэтому

Упростим это неравенство с модулем (см. прото-задачу П.5):

Вспоминаем, что в начале решения получили ограничение , поэтому ограничения на значения теперь выглядят вот так:


Возвращаемся к нашим преобрзованиям с и , и уже спокойно берем квадратный корень от обеих частей равенства:

Теперь нужно избавиться от модуля.

Если

Итак,

Тогда

В условии сказано, что . Но у нас есть еще одно ограничение на , поэтому получаем:

Заменим на найденное выше выражение:

Вычтем из всех частей неравенства :

Левая часть неравенства выполняется при любом , поэтому в силе до сих пор остается ограничение на , которое мы находили ранее. Поэтому рассмотрим только правую часть:

Возводим в квадрат обе части неравенства:

Умножаем обе части на :

Берем квадратный корень из обеих частей:

Упрощаем это неравенство по прото-задаче П.5:

Вспоминаем ограничение на , которое мы нашли ранее:

Объединяя эти результаты, получаем следующее ограничение на значения :

Если

Итак,

Тогда

В условии сказано, что . Но у нас есть еще одно ограничение на , поэтому получаем:

Заменим на найденное выше выражение:

Умножаем на все части неравенства:

Получили неравенство, которое мы рассматривали при . Никаких дополнительных ограничений на тут не будет.

Итог

Итак, пробегает множество:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.