Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа справедливы следующие равенства:
2
Указание
В индукционном переходе прибавить к равенству с обеих сторон и преобразовать его правую часть.
Решение
Докажем по методу математической индукции.
База индукции
Пусть . Получаем:
Индукционный переход
Предположим, что доказываемое равенство выполняется для суммы квадратов первых натуральных чисел:
К обеим частям равенства прибавляем :
Приводим правую часть равенства к общему знаменателю и выносим за скобки :
В числителе имеем квадратный трехчлен:
Через дискриминант находим оба корня:
Получаем:
Занесем двойку внутрь второй скобки:
С учетом обновленной правой части получаем следующее равенство:
Итак, мы из равенства для вывели равенство для . Индукционный переход доказан. Значит, равенство из условия выполняется для любых натуральных чисел.
Не разобрались?
СпроситьВсе поняли?
Поддержать