Задача 2 — Демидович

I§1Метод математической индукции

└─

Главная

└─

Задачи

└─

I. Введение в анализ

└─

§1. Вещественные числа

└─

Метод математической индукции

└─

Задача 2

Нормальная

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа

n

справедливы следующие равенства:

$1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$

Петр Радько

Указание

В индукционном переходе прибавить к равенству с обеих сторон $(k + 1)^{2}$ и преобразовать его правую часть.

Решение

Докажем по методу математической индукции.

База индукции

Пусть $n = 1$ . Получаем:

$1^{2} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{1 \cdot 6}{6} = 1$

Индукционный переход

Предположим, что доказываемое равенство выполняется для суммы квадратов первых $k$ натуральных чисел:

$1^{2} + 2^{2} + \dots + k^{2} = \frac{k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 )}{6}$

К обеим частям равенства прибавляем $(k + 1)^{2}$ :

$1^{2} + 2^{2} + \dots + k^{2} + (k + 1)^{2} = \frac{k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 )}{6} + (k + 1)^{2}$

Приводим правую часть равенства к общему знаменателю и выносим за скобки $k + 1$ :

$\frac{k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 )}{6} + (k + 1)^{2} = \frac{( k + 1 ) ( 2 k ^{2} + 7 k + 6 )}{6}$

В числителе имеем квадратный трехчлен:

$2 k^{2} + 7 k + 6$

Через дискриминант находим оба корня:

$k_{1} = - 2 k_{2} = - \frac{3}{2}$

Получаем:

$2 k^{2} + 7 k + 6 = 2 (k + 2) (k + \frac{3}{2})$

Занесем двойку внутрь второй скобки:

$2 k^{2} + 7 k + 6 = (k + 2) (2 k + 3)$

С учетом обновленной правой части получаем следующее равенство:

$1^{2} + 2^{2} + \dots + k^{2} + (k + 1)^{2} = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 )}{6}$

Итак, мы из равенства для $k$ вывели равенство для $k + 1$ . Индукционный переход доказан. Значит, равенство из условия выполняется для любых натуральных чисел.

$■$

1 3