Если $x_n$ является арифметической прогрессией, то есть такие две константы $x_1$ и $d$, что:

$$x_n=x_1+d(n-1)$$

Подставляем эту формулу в $y_n$:

$$y_n=f(x_n)=a^{x_1+d(n-1)}=a^{x_1}{\left(a^d\right)}^{n-1}$$

Можем обозначить константу $a^{x_1}$ за $C$, а константу $a^d$ за $q$. Тогда:

$$y_n=C{q}^{n-1}$$

причем $С$ и $q$ — константы. Это по определению означает, что $y_n$ — геометрическая прогрессия.

$■$