Демидович
203

Пусть функция определена при . Найти области определения функций:

Ответ

Пункт а)

Пункт б)

Пункт в)

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Формулировка задачи может ввести в заблуждение. По сути, от вас требуется изолировать в центре следующих трех неравенств:

Решение

Пункт а)

По определению функция принимает положительные значения на интервалах:

Другими словами, положителен, когда

Пункт б)

Представим все части неравенства как показатели степени с основанием . Знаки неравенства не поменяются, так как :

Пункт в)

Сразу уточняем, что не может равняться .


Рассмотрим левую часть:

Пусть . Умножим обе части неравенства на :

Замечаем, что , , поэтому любые числа из интервала не подойдут для неравенства выше, поэтому:

Пусть . Умножим обе части неравенства на с переменой знака неравенства:

Целая часть от любого отрицательного числа является отрицательным числом, поэтому

А как же интверал ?

Действительно, рассмотрим, например, чему равно :

Поэтому целая часть любого отрицательного числа есть отрицательное число.

Резюмируя левую часть неравенства, имеем:


Рассмотрим правую часть неравенства:

Пусть . Умножим обе части неравенства на :

Для положительных это неравенство всегда выполняется, кроме тех случаев, когда — целое число (в этих случаях оно обращается в равенство). Это можно выразить так:

Пусть . Умножим обе части неравенства на с переменой знака неравенства:

Никакой (в том числе никакой отрицательный) не удовлетворяет этому условию.

Почему?

Докажем, что для любого неравенство не выполняется. Пусть это не так и существует некоторое число такое, что:

Мы можем представить в виде:

где — целое число и . Тогда, по определению функции целой части числа . Подставляем в неравенство:

Получаем противоречие: не может быть меньше . Значит, такое число не существует.

Резюмируя правую часть неравенства, имеем:


Итак, в результате исследования неравенства иммем два условия, которые должны выполняться одновременно:

Условие сразу отбрасываем, так как оно приводит к противоречиям (см. выше). Остается:

Из-за первого условия в выражении выше из области определения выбрасываем интервал .

Итог:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!