Пункт а)

$$|x-y|\ge ||x|-|y||$$

Упростим неравенство, возведя обе его части в квадрат (см. прото-задачу П.5):

$$x^2-2xy+y^2\ge x^2-2|x||y|+y^2$$

$$|x||y|\ge xy$$

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

$$\begin{gathered} |x||y|=|xy|\ge xy \\ |xy|\ge xy \end{gathered}$$

Если $xy\ge 0$, то $|xy|=xy$, поэтому выполняется

$$xy\ge xy$$

Если $xy<0$, то $|xy|=-xy$, поэтому

$$-xy\ge xy$$

Моделим обе части на $xy$. Так как $xy<0$, то знак меняем на противоположный: $$-1\le 0$$

Это тоже верно.

Итак, мы доказали, что

$$|x-y|\ge ||x|-|y||$$

$■$

Пункт б)

$$|x+x_1+\dots +x_n|\ge |x|-(|x_1|+\dots +|x_n|)$$

В этом пункте мы будем постоянно пользоваться следующим свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

$$|f+g|\ge |f|-|g|$$

Назовем это свойство "важным".

Перейдем теперь к доказательству. Доказывать будем по методу математической индукции.

База индукции: пусть $n=1$:

$$|x+x_1|\ge |x|-|x_1|$$

Это неравенство выполняется (по "важному" свойству).

Индукционный переход:

Пусть доказываемое неравенство выполняется для какого-то $k$:

$$|x+x_1+\dots +x_k|\ge |x|-(|x_1|+\dots +|x_k|)$$

Докажем, что неравенство выполняется и для $k+1$:

$$|x+x_1+\dots +x_k+x_{k+1}|\ge |x|-(|x_1|+\dots +|x_k|+|x_{k+1}|)$$

В левой неравенства возьмем в скобки все слагаемые от $x$ до $x_k$:

$$|(x+x_1+\dots +x_k)+x_{k+1}|$$

Воспольуземся "важным" свойством:

$$|(x+x_1+\dots +x_k)+x_{k+1}|\ge |x+x_1+\dots +x_k|-|x_{k+1}|$$

Усилим неравенство, применив индукционное предположение для первого слагаемого правой части неравенства:

$$\begin{gathered} |(x+x_1+\dots +x_k)+x_{k+1}|\ge |x+x_1+\dots +x_k|-|x_{k+1}|\ge \\ \ge |x|-(|x_1|+\dots +|x_k|)-|x_{k+1}| \end{gathered}$$

Осталось занести $|x_{k+1}|$ под скобку в правой части:

$$|x+x_1+\dots +x_k+x_{k+1}|\ge |x|-(|x_1|+\dots +|x_k|+|x_{k+1}|)$$

Индукционный переход доказан.

Мы доказали, что

$$|x+x_1+\dots +x_n|\ge |x|-(|x_1|+\dots +|x_n|)$$

$■$