Демидович
21

Доказать неравенства:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Пункт а)

Возведите обе части неравенства в квадрат по прото-задаче П.5.

Воспользуйтесь свойством модулей из прото-задачи П.1.

Докажите верность неравенства по определению модуля.

Пункт б)

Доказывать надо по методу математической индукции.

Воспользуйтесь свойством модулей из прото-задачи П.1.

В индукционном переходе воспользуйтесь указанным выше свойством, а затем усильте получившееся неравенство с помощью индукционного предположения.

Решение

Пункт а)

Упростим неравенство, возведя обе его части в квадрат (см. прото-задачу П.5):

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

Если , то , поэтому выполняется

Если , то , поэтому

Моделим обе части на . Так как , то знак меняем на противоположный:

Это тоже верно.

Итак, мы доказали, что

Пункт б)

В этом пункте мы будем постоянно пользоваться следующим свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

Назовем это свойство "важным".

Перейдем теперь к доказательству. Доказывать будем по методу математической индукции.

База индукции: пусть :

Это неравенство выполняется (по "важному" свойству).

Индукционный переход:

Пусть доказываемое неравенство выполняется для какого-то :

Докажем, что неравенство выполняется и для :

В левой неравенства возьмем в скобки все слагаемые от до :

Воспольуземся "важным" свойством:

Усилим неравенство, применив индукционное предположение для первого слагаемого правой части неравенства:

Осталось занести под скобку в правой части:

Индукционный переход доказан.

Мы доказали, что

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.
Упрощение модулей в неравенствах
Очень полезные соотношения для быстрого решения неравенств с модулями.

Вся необходимая теория для решения этой задачи понятно и подробно расписана в статье: