Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 21
Нормальная

Доказать неравенства:

Указание

Пункт а)

Возведите обе части неравенства в квадрат по прото-задаче П-ссылка.

Воспользуйтесь свойством модулей из прото-задачи П-ссылка.

Докажите верность неравенства по определению модуля.

Пункт б)

Доказывать надо по методу математической индукции.

Воспользуйтесь свойством модулей из прото-задачи П-ссылка.

В индукционном переходе воспользуйтесь указанным выше свойством, а затем усильте получившееся неравенство с помощью индукционного предположения.

Решение

Пункт а)

Упростим неравенство, возведя обе его части в квадрат (см. прото-задачу П-ссылка):

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П-ссылка):

Если , то , поэтому выполняется

Если , то , поэтому

Моделим обе части на . Так как , то знак меняем на противоположный:

Это тоже верно.

Итак, мы доказали, что

Пункт б)

В этом пункте мы будем постоянно пользоваться следующим свойством модуля (см. прото-задачу П-ссылка):

Назовем это свойство «важным».

Перейдем теперь к доказательству. Доказывать будем по методу математической индукции.

База индукции: пусть :

Это неравенство выполняется (по «важному» свойству).

Индукционный переход:

Пусть доказываемое неравенство выполняется для какого-то :

Докажем, что неравенство выполняется и для :

В левой неравенства возьмем в скобки все слагаемые от до :

Воспольуземся «важным» свойством:

Усилим неравенство, применив индукционное предположение для первого слагаемого правой части неравенства:

Осталось занести под скобку в правой части:

Индукционный переход доказан.

Мы доказали, что