Доказать неравенства:
Доказать неравенства:
Возведите обе части неравенства в квадрат по прото-задаче П.5.
Воспользуйтесь свойством модулей из прото-задачи П.1.
Докажите верность неравенства по определению модуля.
Доказывать надо по методу математической индукции.
Воспользуйтесь свойством модулей из прото-задачи П.1.
В индукционном переходе воспользуйтесь указанным выше свойством, а затем усильте получившееся неравенство с помощью индукционного предположения.
Упростим неравенство, возведя обе его части в квадрат (см. прото-задачу П.5):
Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):
Если , то , поэтому выполняется
Если , то , поэтому
Моделим обе части на . Так как , то знак меняем на противоположный:
Это тоже верно.
Итак, мы доказали, что
В этом пункте мы будем постоянно пользоваться следующим свойством модуля (см. прото-задачу П.1):
Назовем это свойство "важным".
Перейдем теперь к доказательству. Доказывать будем по методу математической индукции.
База индукции: пусть :
Это неравенство выполняется (по "важному" свойству).
Индукционный переход:
Пусть доказываемое неравенство выполняется для какого-то :
Докажем, что неравенство выполняется и для :
В левой неравенства возьмем в скобки все слагаемые от до :
Воспольуземся "важным" свойством:
Усилим неравенство, применив индукционное предположение для первого слагаемого правой части неравенства:
Осталось занести под скобку в правой части:
Индукционный переход доказан.
Мы доказали, что
Вся необходимая теория для решения этой задачи понятно и подробно расписана в статье: