Демидович
215

Доказать, что следующие функции являются монотонно возрастающими в указанных промежутках:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь формулой разности синусов:

Решение

Рассмотрим два произвольных и из указанного в условии промежутка, такие, что . Нам нужно доказать, что

Воспользуемся формулой разности синусов:

Делим обе части неравенства на :

Для выполнения неравенства нам нужно доказать, что оба множителя (косинус и синус) всегда строго больше нуля.

Косинус

По условию, и лежат в одном и том же промежутке:

Сложим эти два неравенства и разделим все части на :

На самом деле, при условии равенства в неравенстве выше получиться не может, поэтому:

Почему?

Покажем на примере правой части неравенства (левая часть доказывается так же):

Предположим, что равенство возможно, то есть:

По условию

Подставим найденное выражение вместо :

Тут только один вариант, который не нарушает ограничения на из условия:

Подставляем найденный в равенство для выше:

Итак, получаем, что

А этого не может быть, ведь по условию . Получили противоречие. Значит, при действующих ограничениях нет таких и , что

Значит выполняется только строгое неравенство:

Функция косинуса по определению (как абсцисса угла) строго больше на интервале от до . Поэтому:

Синус

По условию:

Делим обе части неравенства на :

Запомним это.

По условию,

Вычтем из обеих частей :

Максимальное значение правая часть неравенства достигает при , поэтому:

Делим обе части на :

Объединяем правую и левую части:

Замечаем, что в левой части равенства никак не получить:

Это противоречит условию. Поэтому можно пишем со строим неравенством:

Функция синуса по определению (как ордината угла) строго больше на полуинтервале от до . Поэтому:


Итак, мы доказали, что при данных в условии ограничениях оба множителя будут строго больше :

Значит

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!

Вся необходимая теория для решения этой задачи понятно и подробно расписана в статье: