Функция $f(x)$ имеющая период $2l$ может быть представленна рядом Фурье

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}$$

где

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx(n=0,1,2\dots )$$

$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx(n=1,2\dots )$$

В нашей задаче $f(x)=\mathrm{sgn}(\cos (x))$. Период $\cos (x)$ — $2\pi$, значит период $f(x)=\mathrm{sgn}(\cos (x))$ тоже $2\pi$. Таким образом $l=\pi$

Аналогично тому, как было получено, что $a_n=0$ в задаче 2951, $b_n=0$

Осталось найти $a_n$

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\mathrm{sgn}(\cos x)\cos (nx)dx$$

Воспользуемся тем, что $\mathrm{sgn}(\cos x)\cos (nx)$ — чётная функция и интервал, по которому мы интегрируем, симмертичен.

$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\mathrm{sgn}(\cos x)\cos (nx)dx$$

$\mathrm{sgn}(\cos x)$ — разрывная функция

$$\mathrm{sgn}(\cos x)=\{\begin{array}{l}1,0\le x<\frac{\pi }{2}\\ -1,\frac{\pi }{2}<x\le \pi \end{array}$$

Поэтому разобъём интеграл на два

$$a_n=\frac{2}{\pi }\left({\int }_0^{\pi /2}\cos (nx)dx-{\int }_{\pi /2}^{\pi }\cos (nx)dx\right)=\frac{2}{\pi }\frac{1}{n}\left({\sin nx|}_0^{\pi /2}-{\sin nx|}_{\pi /2}^{\pi }\right)$$

$\sin \pi n=\sin 0=0$

$$a_n=\frac{2}{\pi }\frac{1}{n}\left(\sin \frac{\pi }{2}n+\sin \frac{\pi }{2}n\right)=\frac{4}{\pi n}\sin \frac{\pi }{2}n$$

Расмотрим отдельно чётные и нечётные $n$

При $n=2k,k\in \mathbb{N}\cup \{0\}$

$$\sin \frac{\pi }{2}n=\sin \pi k=0$$

При $n=2k+1,k\in \mathbb{N}\cup \{0\}$

$$\sin \frac{\pi }{2}n=\sin \left(\pi k+\frac{\pi }{2}\right)=(-1{)}^k$$

Значит $a_{2k}=0$ и $a_{2k+1}=(-1{)}^k\frac{4}{\pi (2k+1)}$

Подставим $n=2k+1$ и $a_{2k+1}$ в формулу ряда Фурье

$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{4}{\pi (2k+1)}\cos (2k+1)x$$

$$f(x)=\frac{4}{\pi }\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{\cos (2k+1)x}{2k+1}$$